【題目】如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+4交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)C(﹣4,0)作CD⊥AB于D,交y軸于點(diǎn)E.

(1)求證:△COE≌△BOA;

(2)如圖2,點(diǎn)M是線段CE上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C、E重合),ON⊥OM交AB于點(diǎn)N,連接MN.

①判斷△OMN的形狀.并證明;

②當(dāng)△OCM和△OAN面積相等時,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】(1)證明見解析;(2)①△MON是等腰直角三角形;②點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1.5,2).

【解析】

(1)代入解析式后得出OB,OA的長,再利用全等三角形的判定證明即可;
(2)①根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出OM=ON,再利用等腰直角三角形的判定解答即可;
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可.

解:(1)把x=0代入y=﹣x+4,

解得:y=4,

∴OB=4,

y=0代入y=﹣x+4,解得:x=3,

∴OA=3,

∵C(﹣4,0),

∴OC=4,

∴OB=OC,

∵CD⊥AB,

∴∠ACD+∠CAD=90°,

∵∠ACD+∠OEC=90°,

∴∠CAD=∠OEC,

△COE△BOA

∴△COE≌△BOA(AAS);

(2)①∵ON⊥OM,

∴∠MON=90°,

∴∠COM+∠AON=90°,

∵∠AON+∠BON=90°,

∴∠COM=∠BON,

∵△COE≌△BOA,

∴∠OCM=∠OBN,

△COM△BON

,

∴△COM≌△BON(ASA),

∴OM=ON,∠COM=∠BON,

∵∠COM+∠MOE=90°,

∴∠BON+∠MOE=90°,

∠MON=90°,

∴△MON是等腰直角三角形;

②∵△COM≌△BON,△OCM△OAN面積相等,

∴△BON△OAN面積相等,

△OAN面積是△AOB面積的一半,

,

解得: =2,

y=2代入y=﹣x+4,

解得:x=1.5,

點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1.5,2).

練習(xí)冊系列答案
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A.72
B.36
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【題目】如圖,直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn),點(diǎn)P為OA上一動點(diǎn),PC+PD值最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

A.(﹣3,0) B.(﹣6,0) C.,0) D.,0)

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