Question

如圖：?OBCD中，∠DOB=60°，OD=2，以O(shè)D為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），過N作直線MN⊥x軸，垂足為A，交DC邊于M．設(shè)OA=t，△OMN的面積為s．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)s為時(shí)，直線MN與⊙P是什么位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：利用圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得出∠DBO=90°，從而求出D的坐標(biāo)；運(yùn)用圓與直線的線切知識(shí)求出直線MN與⊙P的關(guān)系．
解答：解：如下圖所示：連接DB，BP

（1）由于⊙OP過點(diǎn)B，OD是圓的直徑，所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×=1；DB=OD×sin∠DOB=2×=
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（1，）；

（2）由于ODBC是平行四邊形，且MN⊥x軸于A
所以AM=BD=，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=（t-1）
所以MN=AM-AN=（2-t）
即：△OMN的面積為s=×MN×OA=×（2-t）t=t（2-t）
又∵點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)與點(diǎn)B、C不重合
∴t的取值范圍為：1＜t＜2；

（3）當(dāng)s=t（2-t）=時(shí)，又1＜t＜2，所以t=
圓心P到MN的距離等于（DM+OA）=×（-1+）=1=OD
所以此時(shí)直線MN與⊙P相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)和直線與圓相切的知識(shí)．