Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點(diǎn)A、C、D作拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點(diǎn)為E，連結(jié)CE，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)F，交線段CD于點(diǎn)K，點(diǎn)M、N分別是直線l和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MN，當(dāng)線段MN恰好被BC垂直平分時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）在滿足（2）的條件下，過點(diǎn)M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，4），

∵過點(diǎn)A、C、D作拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），

∴ ，

解得 ．

故拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：連結(jié)BD交對(duì)稱軸于G，

在Rt△OBD中，易求BD=5，

∴CD=BD，則∠DCB=∠DBC，

又∵∠DCB=∠CBE，

∴∠DBC=∠CBE，

過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，

易證GH=HN，

∴點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，

故直線BD的解析式y(tǒng)=﹣ x+4

根據(jù)拋物線可知對(duì)稱軸方程為x= ，

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ），即GF= ，BF= ，

∴BM= = ，

又∵M(jìn)N被BC垂直平分，

∴BM=BN= ，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（ ，0）

（3）

解：過點(diǎn)M作直線交x軸于點(diǎn)P1，連結(jié)CE．

易求四邊形AECD的面積為28，四邊形ABCD的面積為20，

由“四邊形AECD的面積分為3：4”可知直線P1M必與線段CD相交，

設(shè)交點(diǎn)為Q1，四邊形AP1Q1D的面積為S1，四邊形P1ECQ1的面積為S2，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（a，0），

假設(shè)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，則P1F= ﹣a，P1E=7﹣a，

由△MKQ1∽△MFP1，得 = ，

易求Q1K=5P1F=5（ ﹣a），

∴CQ1= ﹣5（ ﹣a）=5a﹣10，

∴S2= （5a﹣10+7﹣a）×4=28× ，

解得：a= ，

根據(jù)P1（ ，0），M（ ， ）可求直線P1M的解析式為y= x﹣6，

若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)，則直線P2M的解析式為y=﹣ x+

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）連結(jié)BD交對(duì)稱軸于G，過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸公式可求對(duì)稱軸，由此即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)M作直線交x軸于點(diǎn)P1 ， 分點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)，兩種情況討論即可求出直線的解析式．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．