Question

【題目】如圖，拋物線C1：y1=tx2﹣1（t＞0）和拋物線C2：y2=﹣4（x﹣h）2+1（h≥1）．

（1）兩拋物線的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為和；
（2）設(shè)拋物線C2的對(duì)稱軸與拋物線C1交于點(diǎn)N，則t為何值時(shí)，A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（3）設(shè)拋物線C1與x軸的左交點(diǎn)為點(diǎn)E，拋物線C2與x軸的右邊交點(diǎn)為點(diǎn)F，試問(wèn)，在第（2）問(wèn)的前提下，四邊形AEBF能否為矩形？若能，求出h值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0，1）；（h，1）
（2）

解：∵AM∥BN，

∴當(dāng)AM=BN時(shí)，A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∵當(dāng)x=h時(shí)，y1=1，y2=tx2﹣1=th2﹣1，

∴PN=|1﹣（th2﹣1）\=|2﹣th2|．

①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方時(shí)，4h2﹣2=th2﹣2，∵h(yuǎn)2≠0，∴t=4；

②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方時(shí)，4h2﹣2=2﹣th2，整理，得t+4= ，

∵t＞0時(shí)，t+4＞4；當(dāng)h≥1時(shí)， ≤4，

∴這樣的t值不存在，

答：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方時(shí)，t=4，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方時(shí)不存在

（3）

解：由（2）可知，二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，

∴兩拋物線的形狀相同，故它們成中心對(duì)稱，

∵點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相同，

∴兩拋物線得對(duì)稱中心落在x軸上．

∵四邊形AEBF是平行四邊形，

∴當(dāng)∠EAF=90°時(shí)，四邊形AFBE是矩形，

∵拋物線C1與x軸左交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣ ，0），

∴OE= ．

∵拋物線C2與x軸右交點(diǎn)坐標(biāo)是（h+ ，0）且h≥1，

∴OF=h+ ．

∵∠FAO+∠EAO=90°，∠EAO+AEO=90°，

∴∠FAO=∠AEO，

又∵∠FOA=∠EOA=90°，

∴△AEO∽△FAO， =

∴OA2=OEOF，即 （h+ ）=1，解得h= ＞1，

∴四邊形AEBF能為矩形，且h的值為

【解析】解：（1）拋物線C1：y1=tx2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣1），
拋物線C2：y2=﹣4（x﹣h）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，1），
所以答案是：（0，﹣1），（h，1）；