Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P為邊AC上一個點（可以包括點C但不包括點A），以P為圓心PA為半徑作⊙P交AB于點D，過點D作⊙P的切線交邊BC于點E．
（1）求證：BE=DE；
（2）若PA=1，求BE的長；
（3）在P點的運動過程中，請直接寫出線段BE長度的取值范圍為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，進而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A進而得出答案；
（2）利用勾股定理得出ED²+PD²=EC²+CP²=PE²，求出BE即可；
（3）分別根據(jù)當(dāng)D點在A點時以及當(dāng)P與C重合時，求出BE的長，進而得出BE的取值范圍．
解答：（1）證明：如圖1，連接PD．
∵DE切⊙O于D．
∴PD⊥DE．
∴∠BDE+∠PDA=90°．
∵∠C=90°．
∴∠B+∠A=90°．
∵PD=PA．
∴∠PDA=∠A．
∴∠B=∠BDE．∴BE=DE；

（2）解：如圖1，連接PE，設(shè)DE=BE=x，則EC=4-x．
∵PA=PD=1，AC=3．∴PC=2．
∵∠PDE=∠C=90°，
∴ED²+PD²=EC²+CP²=PE²．
∴x²+1=（4-x）²+2．
解得x=．
∴BE=；

（3）解：如圖2，當(dāng)D點在A點時，
∵BE=ED，設(shè)BE=ED=x，則EC=4-x，
∴EC²+AC²=AE²，
∴（4-x）²+3²=x²，
解得：x=，
如圖3，當(dāng)P與C重合時，
∵BE=ED，設(shè)BE=ED=x，則EC=4-x，
∴EC²=DC²+DE²，
∴（4-x）²=3²+x²，
解得：x=，
∵P為邊AC上一個點（可以包括點C但不包括點A），
∴線段BE長度的取值范圍為：≤BE＜．
故答案為：≤BE＜．
點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)與判定以及勾股定理等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．