Question

已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，動點P從O點出發(fā)沿射線OA方向以每秒2個單位的速度移動，同時動點Q從A點出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個單位的速度移動．設(shè)移動的時間為t秒．
（1）求直線AC的解析式；
（2）試求出當(dāng)t為何值時，△OAC與△PAQ相似？
（3）若⊙P的半徑為，⊙Q的半徑為；當(dāng)⊙P與對角線AC相切時，判斷⊙Q與直線AC、BC的位置關(guān)系，并求出Q點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，由已知條件利用勾股定理求AC，利用面積法求CD，利用勾股定理求OD，確定C點坐標(biāo)，從而求直線AC的解析式；
（2）根據(jù)P點是否在線段OA上分類：當(dāng)0≤t≤2.5時，和當(dāng)t＞2.5時，判斷相似是否成立，利用相似比求符合條件的t的值；
（3）可判斷⊙Q與直線AC、BC均相切．當(dāng)⊙P的半徑為時，利用相似比求PA，得出OP的長和P點運動時間，Q點運動時間與P點相同，可判斷QA的長是否等于⊙Q的半徑，并求出Q點坐標(biāo)．
解答：解：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，在平行四邊形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面積法，得CD×OA=OC×AC，解得CD==，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD==，
∴C（，），
又∵A（5，0），
∴直線AC解析式為：y=-x+；

（2）當(dāng)0≤t≤2.5時，P在OA上，若∠OAQ=90°時，
故此時△OAC與△PAQ不可能相似．
當(dāng)t＞2.5時，
①若∠APQ=90°，則△APQ∽△OAC，
故==，
∴=，
∴t=，
∵t＞2.5，
∴t=符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故==，
∴=，
∴t=，
∵t＞2.5，
∴t=符合條件．
綜上可知，當(dāng)t=或時，△OAC與△APQ相似．

（3）⊙Q與直線AC、BC均相切．
如圖，設(shè)⊙P與AC相切于點M，則PM∥OC，
∴=，即×5=PA×4，
解得PA=2，OP=5-2=3，
P點運動時間為3÷2=秒，
故Q點運動時間為秒，此時AQ=，
BQ=4-=，
過Q點作QN⊥BC，垂足為N，則△BQN∽△BCA，
=，即=，
解得QN=，
則AQ=QN，
∵AC⊥AB，
∴⊙Q與直線AC、BC均相切．
此時，Q點坐標(biāo)為（）．
點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是利用勾股定理，面積法，相似三角形的性質(zhì)解題．