Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圓，交BC于點F
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）連結EF，若BC=9，CA=12，求的值；
（3）若F是弧BD的中點，過F作FG⊥BE于G．求證：GF=BD．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圓，
∴BE是⊙O的直徑，點O是BE的中點，
連結OD，
∵∠C=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+CA²=9²+12²=225，
∴AB=15，
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴r=，
即BE=，
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BFE=90°，
∴△BEF∽△BAC，
∴===，；

（3）連結OF，交BD于H，
∵F是弧BD的中點，OF是⊙O的半徑，
∴BH=BD，∠BHO=90°，
∵FG⊥BE，
∴∠FGO=∠BHO=90°，
又∵OF=BO，∠FOG=∠BOH，
在△FOG和△BOH中，
，
∴△FOG≌△BOH（AAS），
∴GF=BH=BD．
分析：（1）先根據(jù)DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圓，得出BE是⊙O的直徑，點O是BE的中點，連結OD，根據(jù)∠C=90°，得出∠DBC+∠BDC=90°，再根據(jù)∠ABD=∠DBC，
∠ABD=∠ODB，得出∠ODB+∠BDC=90°，∠ODC=90°，即可證出AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為r，先求出AB=15，再根據(jù)∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°，證出△ADO∽△ACB，得出=，BE=，根據(jù)BE是⊙O的直徑，得出∠BFE=90°，則△BEF∽△BAC，從而證出===；
（3）連結OF，交BD于H，先證出BH=BD，∠BHO=90°，在證出∠FGO=∠BHO=90°，最后根據(jù)OF=BO，∠FOG=∠BOH，證出△FOG≌△BOH，即可得出答案．
點評：本題考查了圓的綜合，用到的知識點是圓的有關性質、切線的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，關鍵是根據(jù)題意畫出輔助線．