Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A(2，0)，C(0，-4)，直線l：y=-x-4與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線y=ax2+x+c上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于F．

(1)試求該拋物線表達(dá)式；

(2)如圖(1)，若點(diǎn)P在第三象限，四邊形PCOF是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖(2)，連接AC．求證：△ACD是直角三角形．

Answer 1

【答案】(1)y=x2+x-4；(2)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8，-4)，(-2.5，-)；(3)證明見解析.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求a、c的值，從而求得拋物線的表達(dá)式;
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，x2+x-4），則F（x，-x-4），由OCPF是平行四邊形得OC=FP,OC∥PF，從而-x2-x=4，求解即可得P的橫坐標(biāo)，代入解析式即可得P的坐標(biāo)．
（3）分別求出點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)，可以根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷

(1)依題意，拋物線經(jīng)過A(2，0)，C(0，-4)，則c=-4

將點(diǎn)A代入得0=4a+×2-4，解得a=

拋物線的解析式是y=x2+x-4

(2)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，x2+x-4)，則F(x，-x-4)

∴PF=(-x-4)-(x2+x-4)=-x2-x

∵四邊形OCPF是平行四邊形

∴OC=FP，OC∥PF

∴-x2-x=4

即2x2+21x+40=0

解得x1=-8x2=-2.5

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8，-4)，(-2.5，-)

(3)當(dāng)y=0時(shí)，-x-4=0，得x=-8，即D(-8，0)

當(dāng)x=0時(shí)，0-4=y，即C(0，-4)

當(dāng)y=0時(shí)，x2+x-4=0

解得x1=-10x2=2，即B(-10，0)，A(2，0)

∴AD=10

∵AC2=22+42=20

CD2=82+42=80

∴AD2=AC2+CD2

∴∠ACD=90°△ACD是直角三角形