Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx（a＜0）的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)的直線與y軸交于B，與二次函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)C，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，其對(duì)稱軸與直線AB及x軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若△FCD與△AED相似，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

（1）（﹣4，0）；（2）y=﹣x²﹣4x．

解析試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CM∥OA交y軸于M，則△BCM∽△BAO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出，即OA=4CM=4，由此得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）.
（2）先將A（﹣4，0）代入y=ax²+bx，化簡(jiǎn)得出b=4a，即y=ax²+4ax，則頂點(diǎn)F（﹣2，﹣4a），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，化簡(jiǎn)得n=4k，即直線AB的解析式為y=kx+4k，則B點(diǎn)（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在拋物線y=ax²+4ax上，得出3k=a﹣4a，化簡(jiǎn)得到k=﹣a．再由△FCD與直角△AED相似，則△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出FC²=CD²=1+a²，得出△FCD是等腰直角三角形，則△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，進(jìn)而得到此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x²﹣4x．
試題解析：解：（1）如答圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥OA交y軸于M．
∵AC：BC=3：1，∴．
∵CM∥OA，∴△BCM∽△BAO.∴.
∵C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，∴CM=1.∴OA=4CM=4.
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）.
（2）∵二次函數(shù)y=ax²+bx（a＜0）的圖象過(guò)A點(diǎn)（﹣4，0），
∴16a﹣4b=0.∴b=4a.
∴y=ax²+4ax，對(duì)稱軸為直線x=﹣2，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4a）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，得﹣4k+n=0，∴n=4k.
∴直線AB的解析式為y=kx+4k.
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4k），D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2k），C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3k）．
∵C（﹣1，3k）在拋物線y=ax²+4ax上，∴3k=a﹣4a，∴k=﹣a．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD與△AED相似，則△FCD是直角三角形.
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°.
∴△FCD∽△AED．
∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，
∴FC²=（﹣1+2）²+（3k+4a）²=1+a²，CD²=（﹣2+1）²+（2k﹣3k）²=1+a².
∴FC=CD.∴△FCD是等腰直角三角形.∴△AED是等腰直角三角形.
∴∠DAE=45°.∴∠OBA=45°.∴OB=OA=4.
∴4k=4.∴k=1.∴a=﹣1.
∴此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x²﹣4x．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.二次函數(shù)的性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．