Question

如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)求證：CB是△ABE外接圓的切線；
(3)試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(4)設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(0＜t≤3)時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

（1）y=－x²＋2x＋3．B(1，4)．（2）證明見解析；（3）P₁(0，0)，P₂(9，0)，P₃(0，－)．（4）s=.

解析試題分析：(1)利用兩根式列出二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x－3)(x＋1)，把將E(0，3)代入即可求出a的值，繼而可求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，利用已知條件先證明AB是△ABE外接圓的直徑．再證CB⊥AB即可．
（3）存在；
（4）分兩種情況進(jìn)行討論即可.
試題解析：(1)解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a(x－3)(x＋1)．
將E(0，3)代入上式，解得：a=－1．
∴y=－x²＋2x＋3．
則點(diǎn)B(1，4)．
(2)如圖，證明：過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M(0，4)．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE==3．
在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．
∴∠BEA=180°－∠1－∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圓的直徑．
在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，
∴∠CBE＋∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圓的切線．

(3)P₁(0，0)，P₂(9，0)，P₃(0，－)．
(4)解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx＋b．
將A(3，0)，B(1，4)代入，得解得
∴y=－2x＋6．
過點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y=3時，得x=，
∴F(，3)．
情況一：如圖7，當(dāng)0＜t≤時，設(shè)△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)G．
則ON=AD=t，過點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L．
由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK=2t．
∴S_陰=S_△MND－S_△GNA－S_△HAD=×3×3－(3－t)2－t·2t=－t2＋3t．

情況二：如圖8，當(dāng)＜t≤3時，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ=2(3－t)．
∴S陰=S△IQA－S△VQA=×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2=(3－t)2=t2－3t＋．
綜上所述：s=.
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.