Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)，且OA=2OC．
（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求的值；
（3）如果點(diǎn)D在這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且∠CAD=45º，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

(1)M(2,4)；(2)tan∠MAC=；(3)，.

解析試題分析：
（1）根據(jù)與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-3）就可以求出OC的值及c的值，進(jìn)而求出OA的值及A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出b的值而求出解析式及定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E．在Rt△AHM中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AC的解析式，就可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，從而求出AE的值就可以得出結(jié)論；
（3）如圖2，分類(lèi)討論，當(dāng)D點(diǎn)在A(yíng)C上方時(shí)，根據(jù)角之間的關(guān)系就可以求出∠D₁AH=∠CAM，當(dāng)D點(diǎn)在A(yíng)C下方時(shí)，∠MAC=∠AD₂M就可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
試題解析：
∵C(0，-3)，∴OC=3.
∵OA=2OC,∴OA=6.
∵，點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)C(0，-3)
∴.
∴.
∴，∴.
（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E.

在Rt△AHM中,HM=AH=4,,.求得直線(xiàn)AC的表達(dá)式為．
∴N（2,-2）．∴MN=2.
在Rt△MNE中,∴,
∴.
在Rt△AEN中,.
（3）?當(dāng)D點(diǎn)在A(yíng)C上方時(shí)，
∵,
又 ∵,
∴.
∴
∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=2上,
∴,∴.
在Rt△AH中,.
∴.
?當(dāng)D點(diǎn)在A(yíng)C下方時(shí)，
∵，
又 ∵∠AMH=∠D₂AM+∠AD₂M=45º，
∴.
∴
在Rt△中，.
∴.

綜上所述：，.
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．