Question

【題目】如圖，線段 AB＝4，M 為 AB 的中點(diǎn)，動點(diǎn) P 到點(diǎn) M 的距離是 1，連接 PB，線段

PB 繞點(diǎn) P 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 PC，連接 AC，則線段 AC 長度的最大值是_________．

Answer 1

【答案】3

【解析】

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意動點(diǎn) P 到點(diǎn) M 的距離是 1，在△0PF中利用勾股定理得x2+y2=1．然后證明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性質(zhì)得到EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=2-x，從而得到點(diǎn)C（x+y，y+2-x），最后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得AC=，最后，依據(jù)當(dāng)y=1時(shí)，AC有最大值求解即可．

解：如圖所示：過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點(diǎn)F．

∵AB=4，O為AB的中點(diǎn)，
∴A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x2+y2=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中，

，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，F(xiàn)B=EP=2-x．
∴C（x+y，y+2-x）．
∵AB=4，O為AB的中點(diǎn)，
∴AC==

∵x2+y2=1，
∴AC=

∵-1≤y≤1，
∴當(dāng)y=1時(shí)，AC有最大值，AC的最大值為=3．
故答案為：3．