Question

如圖，AB⊥a于B，DC⊥a于C，∠BMA=75°，∠DMC=45°，AM=DM．
求證：AB=CB．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，可得四邊形BCDE為矩形，然后根據(jù)∠AMB=75°，∠DMC=45°，可求∠AMD=60°，∠CDM=45°，而AM=DM，那么△AMD是等邊三角形，于是∠ADM=∠MAD=60°，AM=AD，∠ADE=75°，利用AAS可證△ADE≌△MAB，可得AB=DE，繼而可得AB=BC．

解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AB⊥a于B，DC⊥a于C，
∴四邊形BCDE為矩形，
∵∠AMB=75°，∠DMC=45°，
∴∠AMD=60°，∠CDM=45°，
∵AM=DM，
∴△AMD是等邊三角形，
∴AD=AM，∠ADM=∠MAD=60°，
則∠EAD=∠BAM+∠MAD=90°-75°+60°=75°，
∴∠EAD=∠BMA，
在△ADE和△MAB中，

∠DEA=∠ABM ∠EAD=∠BMA AD=MA

，
∴△ADE≌△MAB（AAS），
∴DE=AB，
∵DE=BC，
∴AB=BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造矩形．