Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點E為矩形的邊CD上的任意一點，點P為線段AE的中點，連接BP并延長與邊AD交于點F，點M為邊CD上的一點，且CM＝DE，連接FM．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證∠DMF＝∠ABF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）按要求畫圖即可；

（2）延長BF交CD的延長線于點N，首先證明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根據(jù)已知條件利用垂直平分線的性質(zhì)定理證明FN＝FM，可得結(jié)論．

（1）解：如圖所示，

（2）證明：延長BF交CD的延長線于點N，

∵點P為線段AE中點，

∴AP＝PE，

∵AB∥CD，

∴∠PEN＝∠PAB，∠2＝∠N，

∵在△APB和△EPN中，

∵，

∴△APB≌△EPN（AAS），

∴AB＝EN

∴AB＝CD＝EN，

∵EN＝DN+DE，CD＝DM+CM，

∵DE＝CM，

∴DN＝DM，

∵FD⊥MN，

∴FN＝FM，

∴∠N＝∠1，

∴∠1＝∠2，

即∠DMF＝∠ABF．