Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D．

（1）求證：AB2=ADAC；

（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到半圓AB什么位置時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，為什么？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到半圓AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC為等腰直角三角形．

【解析】分析：（1）連接BD，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得△ADB∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證明即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，和等腰直角三角形的性質(zhì)，證得∠BAD=∠ABD=45°，然后根據(jù)圓周角定理得證結(jié)論.

詳解：（1）證明：連接BD，如圖所示．

∵AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，

∴∠ADB=∠ABC=90°．

又∵∠BAD=∠CAB，

∴△ADB∽△ABC，

∴=，即AB2=ADAC；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到半圓AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，理由如下：

∵△ADB∽△ABC，△ABC為等腰直角三角形，

∴△ADB為等腰直角三角形，

∴∠BAD=∠ABD=45°，

∴=．

∴當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到半圓AB中點(diǎn)時(shí)，△ABC為等腰直角三角形．