Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD＝CE，連接BD，AE相交于點F．

（1）∠BFE的度數(shù)是多少；

（2）如果，那么等于多少；

（3）如果時，請用含n的式子表示AF，BF的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠BFE＝60°；（2）＝1；（3）．證明見解析.

【解析】

（1）易證△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根據(jù)外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和即可解題．

（2）如圖1中，當＝時，由題意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（3）設(shè)AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，設(shè)BD＝AE＝m，利用相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)系式即可解決問題；

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠DAF＝∠ABD，

∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，

（2）如圖1中，當＝時，由題意可知：AD＝CD，BE＝CE．

∵△ABC是等邊三角形，BE＝EC，AD＝CD，

∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴∠FAB＝∠FBA，

∴FA＝FB，

∴＝1．

（3）設(shè)AF＝x，BF＝y(tǒng)，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，

∵△ABD≌△CAE，

∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，設(shè)BD＝AE＝m，

∵∠ADF＝∠BDA，

∴△ADF∽△BDA，

∴，

∴①，

∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，

∴△BFE∽△BCD，

∴，

∴②，

①÷②得到：，

∴．