Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx﹣4經(jīng)過(guò)A（﹣8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，直線(xiàn)x=﹣4交x軸于點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在直線(xiàn)x=﹣4上，若以A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若B，D，C三點(diǎn)到同一條直線(xiàn)的距離分別是d₁，d₂，d₃，問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出d₃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx﹣4經(jīng)過(guò)A（﹣8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，

∴，解得：。

∴拋物線(xiàn)的解析式為。

 （2）∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在直線(xiàn)x=﹣4上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，n），

如圖1，∵點(diǎn)A（﹣8，0），∴AO=8。

①當(dāng)AO為一邊時(shí)，EP∥AO，且EP=AO=8，

∴|m+4|=8，解得：m₁=﹣12，m₂=4。

∴P₁（﹣12，14），P₂（4，6）。

②當(dāng)AO為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，則點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)，故CE=CP。

∴，解得：。

∴P₃ （﹣4，﹣6）。

綜上所述，當(dāng)P₁（﹣12，14），P₂（4，6），P₃ （﹣4，﹣6）時(shí)，A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。

（3）存在4條符合條件的直線(xiàn)。d₃的值為。

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式。

（2）平行四邊形可能有多種情形，如答圖1所述，需要分類(lèi)討論：

①以AO為一邊的平行四邊形，有2個(gè)；

②以AO為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形，有1個(gè)，此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)。

（3）存在4條符合條件的直線(xiàn)。

如圖2所示，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，

由題意得C（﹣4，0），B（2，0），D（﹣4，﹣6），

∴OC=4，OB=2，CD=6�！唷鰿DB為等腰直角三角形。

∴CH=CD•sin45°=6×=。

∵BD=2CH，∴BD=。

①∵CO：OB=2：1，

∴過(guò)點(diǎn)O且平行于BD的直線(xiàn)l₁滿(mǎn)足條件。

作BE⊥直線(xiàn)l₁于點(diǎn)E，DF⊥直線(xiàn)l₁于點(diǎn)F，設(shè)CH交直線(xiàn)l₁于點(diǎn)G，

∴BE=DF，即：d₁=d₂。

則，即，∴d₃=2d₁，∴。

∴CG=CH，即d₃=。

②如圖2，在△CDB外作直線(xiàn)l₂∥DB，延長(zhǎng)CH交l₂于點(diǎn)G′，使CH=HG′，

∴d₃=CG′=2CH=。

③如圖3，過(guò)H，O作直線(xiàn)l₃，作BE⊥l₃于點(diǎn)E，DF⊥l₃于點(diǎn)F，CG⊥l₃于點(diǎn)G，

由①可知，DH=BH，則BE=DF，即：d₁=d₂．

∵CO：OB=2：1，∴。

作HI⊥x軸于點(diǎn)I，

∴HI=CI=CB=3，∴OI=4﹣3=1。

∴。

∵△OCH的面積=×4×3=×d₃，∴d₃=。

④如圖3，根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性，可作出直線(xiàn)l₄，易證：

，d₃=。

綜上所述，存在直線(xiàn)l，使．d3的值為：。