Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x+c經過點A（0，3）、B（﹣1，0），請解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點為D，與x軸的另一交點為C，對稱軸交x軸于點E，連接BD，求cos∠DBE；
（3）在直線BD上是否存在點F，使由B、C、F三點構成的三角形與△BDE相似？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（0，3）、B（﹣1，0）代入y=ax2+2x+c可得：

c=3，a=﹣1，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），

∴BE=2，DE=4，

∴BD= =2 ，

∴cos∠DBE= =

（3）

解：∵B（﹣1，0），D（1，4），

∴直線BD的解析式為y=2x+2，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3）（x+1），

∴C（3，0），

∴BC=4，

①若△BED∽△BFC，如圖1，

則∠BED=∠BFC=90°，

作FG⊥BC于G，

∵cos∠CBF= ，

∴BF= ，

∴BG= = ，

∴OG= ，GF= ，

∴F（﹣ ， ）；

②若△BED∽△BCF，如圖2，

則∠BCF=90°，

∴F點橫坐標為3，

將3代入BD解析式得：y=8，

∴F（3，8）；

綜上所述，滿足要求的F點的坐標為：（﹣ ， ）、（3，8）

【解析】（1）將A、B兩點坐標代入即可求得解析式；（2）先求出D點坐標，從而求出BE、DE、BD長度，cos∠DBE則可直接算出；（3）由于B是公共點，不可能是直角頂點，所以就只剩下兩種情，即讓C和F分別為直角頂點，根據(jù)相似性質，列出比例等式計算即可．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�