【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c經過點A(0,3)、B(﹣1,0),請解答下列問題:

(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點為D,與x軸的另一交點為C,對稱軸交x軸于點E,連接BD,求cos∠DBE;
(3)在直線BD上是否存在點F,使由B、C、F三點構成的三角形與△BDE相似?若存在,求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:將A(0,3)、B(﹣1,0)代入y=ax2+2x+c可得:

c=3,a=﹣1,

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3


(2)

解:∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴D(1,4),

∴BE=2,DE=4,

∴BD= =2 ,

∴cos∠DBE= =


(3)

解:∵B(﹣1,0),D(1,4),

∴直線BD的解析式為y=2x+2,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣3)(x+1),

∴C(3,0),

∴BC=4,

①若△BED∽△BFC,如圖1,

則∠BED=∠BFC=90°,

作FG⊥BC于G,

∵cos∠CBF= ,

∴BF= ,

∴BG= =

∴OG= ,GF= ,

∴F(﹣ , );

②若△BED∽△BCF,如圖2,

則∠BCF=90°,

∴F點橫坐標為3,

將3代入BD解析式得:y=8,

∴F(3,8);

綜上所述,滿足要求的F點的坐標為:(﹣ , )、(3,8)


【解析】(1)將A、B兩點坐標代入即可求得解析式;(2)先求出D點坐標,從而求出BE、DE、BD長度,cos∠DBE則可直接算出;(3)由于B是公共點,不可能是直角頂點,所以就只剩下兩種情,即讓C和F分別為直角頂點,根據(jù)相似性質,列出比例等式計算即可.
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習冊系列答案
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175

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2

2

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