Question

4．如果一個四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)學(xué)相同，百位數(shù)字與個位數(shù)字相同，則稱這個四位數(shù)為“循環(huán)四位數(shù)”，如1212，5252，6767，…等都是“循環(huán)四位數(shù)”，如果將一個“循環(huán)四位數(shù)”的百位數(shù)字與千位數(shù)字，個位數(shù)字與十位數(shù)字都交換位置，得到一個新四位數(shù)，我們把這個新四位數(shù)叫做“原循環(huán)四位數(shù)的對應(yīng)數(shù)”，如果原循環(huán)四位數(shù)的百位數(shù)字是0，則忽略交換位置后首位的“0”，即它的對應(yīng)數(shù)就是首位“0”忽略后的三位數(shù)，如1212的對應(yīng)數(shù)為2121，5252的對應(yīng)數(shù)為2525，1010的對應(yīng)數(shù)為101．
（1）任意寫一個“循環(huán)四位數(shù)”及它的“對應(yīng)數(shù)”；猜想任意一個“循環(huán)四位數(shù)”與它的“對應(yīng)數(shù)”的差是否都能被101整除？并說明理由；
（2）一個“循環(huán)四位數(shù)”的千位數(shù)字為x（1≤x≤9），百位數(shù)字為y（0≤y≤9，且y＜x），若這個循環(huán)四位數(shù)與它的對應(yīng)數(shù)的差能被404整除，求y與x應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意舉例即可，設(shè)循環(huán)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字為m，百位數(shù)字與個位數(shù)字為n，分別表示出循環(huán)四位數(shù)和其對應(yīng)數(shù)，再作差化簡即可得；
（2）由（1）知，這個循環(huán)四位數(shù)與它的對應(yīng)數(shù)的差為101×9（x-y），根據(jù)題意知x-y=4或x-y=8，即可得答案．

解答 解：（1）循環(huán)四位數(shù)為3434，其對應(yīng)數(shù)為4343，
設(shè)循環(huán)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字為m，百位數(shù)字與個位數(shù)字為n，
則循環(huán)四位數(shù)為1000m+100n+10m+n，其對應(yīng)數(shù)為1000n+100m+10n+m，
“循環(huán)四位數(shù)”與它的“對應(yīng)數(shù)”的差為（1000m+100n+10m+n）-（1000n+100m+10n+m）=101×9（m-n），
∴任意一個“循環(huán)四位數(shù)”與它的“對應(yīng)數(shù)”的差都能被101整除；

（2）由（1）知，這個循環(huán)四位數(shù)與它的對應(yīng)數(shù)的差為101×9（x-y），
∵這個循環(huán)四位數(shù)與它的對應(yīng)數(shù)的差能被404整除，
∴x-y=4或x-y=8，
即y=x-4或y=x-8．

點(diǎn)評 本題主要考查因式分解的應(yīng)用和列代數(shù)式及整式的化簡，理解題意表示出循環(huán)四位數(shù)和其對應(yīng)數(shù)是解題的關(guān)鍵．