Question

【題目】如圖，直線y=x+3與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，且交x軸的正半軸于點(diǎn)C．

（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），A（﹣3，0）；（2）拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，4）；（3）存在，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（2，﹣5）．

【解析】試題分析：（1）分別令x=0和y=0代入y=x+3中可得結(jié)論；

（2）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)配方法可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）分兩種情況：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2﹣2t+3）．根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得：AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．

①如圖1，如果點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，那么AB2+BP2=AP2；

②如圖2，如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，那么AP2+AB2=BP2，列方程可得結(jié)論．

試題解析：解：（1）當(dāng)x=0時，y=3，∴B（0，3），當(dāng)y=0時，x+3=0，x=﹣3，∴A（﹣3，0）；

（2）把A（﹣3，0），B（0，3）分別代入y=﹣x2+bx+c得：

，解得： ，∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，4）

（3）存在．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵A（﹣3，0），B（0，3），∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．

當(dāng)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況：

①如圖1，如果點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，那么AB2+BP2=AP2

（事實(shí)這里的點(diǎn)P與點(diǎn)D 重合）

即18+t2+（﹣t2﹣2t）2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，整理得t2+t=0，解得t1=﹣1，t2=0（不合題意舍去），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

②如圖2，如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，那么AP2+AB2=BP2，即18+（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2=t2+（﹣t2﹣2t）2，整理得t2+t﹣6=0，解得t1=2，t2=﹣3（不合題意舍去），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）；

綜上所述：所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（2，﹣5）．

另解：如圖3，作DE⊥y軸于點(diǎn)E，發(fā)現(xiàn)∠ABO=∠DBE=45°

可知頂點(diǎn)D滿足△DAB是直角三角形，這時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

作PA⊥AB交拋物線于點(diǎn)P，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，發(fā)現(xiàn)∠PAF=∠APF=45°，由PF=AF求出另一點(diǎn)P為（2，﹣5）．