Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(6，0)，(7，3)，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形OA′B′C′，當(dāng)點(diǎn)C′落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段OA′交BC于點(diǎn)E，則線段C′E的長(zhǎng)度為________．

Answer 1

【答案】5．

【解析】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥OC′于點(diǎn)D．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和面積法求得OD=，然后通過解直角三角形推知：tan∠COC′=．結(jié)合圖形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠COC′=∠AOE，自點(diǎn)E向x軸引垂線，交x軸于點(diǎn)F．則EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=．易求OF的長(zhǎng)度，則C′E=O′E+O′C=4+1=5．

解：∵OC=OC′，CC′⊥y軸，A，B的坐標(biāo)分別為（6，0），（7，3），

∴點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離：7-6=1．

∴O′C=O′C′=1，O點(diǎn)到CC′的距離是3，

∴OD=DC′=，S△OCC′=×2×3=3．

如圖，過點(diǎn)C作CD⊥OC′于點(diǎn)D．

則ODC′D=3，

∴OD=，sin∠COC′=，tan∠COC′=．

∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，

∴∠COC′=∠AOE，

∴tan∠AOE=tan∠COC′=．

自點(diǎn)E向x軸引垂線，交x軸于點(diǎn)F．則EF=3．

∵tan∠AOE=，

∴OF=，

∵OF=O′E=4，

∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．

故答案是：5．

“點(diǎn)睛”本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．