Question

已知拋物線y₁=（x-5）（x-a）與x軸交于定點(diǎn)A和另一點(diǎn)C．
（1）求定點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為

5

的圓交拋物線y₁=（x-5）（x-a）于點(diǎn)B，當(dāng)直線AB與圓相切時(shí)，求y₁的解析式．
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P（P在點(diǎn)A的右上方），使△PAC、△PBC的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）連接OB，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于D，根據(jù)切線的定義可得OB⊥AB，利用勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BD、OD的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算求出a的值即可得解；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離相等，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，然后聯(lián)立拋物線與直線的解析式求解即可．

解答：解：（1）y=0，則（x-5）（x-a）=0，
解得x₁=5，x₂=a，
所以，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）；

（2）連接OB，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于D，
∵直線AB與圓相切，
∴OB⊥AB，
∵OA=5，OB=

5

，
∴AB=

OA2-OB2

=

52- 5 2

=2

5

，
∵∠AOB=∠BOD，∠ABO=∠BDO=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴

BD

AB

=

OD

OB

=

OB

OA

，
即

BD

2 5

=

OD

5

=

5

5

，
解得BD=2，OD=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-2）或（1，2），
∵拋物線y₁=（x-5）（x-a）過(guò)點(diǎn)B，
∴（1-5）（1-a）=-2，
∴a=

1

2

，
∴y₁=（x-5）（x-

1

2

）；

（3）存在點(diǎn)P（

11

2

，

5

2

）．
理由如下：當(dāng)B（1，-2）時(shí)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），
則

5k+b=0 k+b=-2

，
解得

k= 1 2 b=- 5 2

，
所以，直線AB的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

2

，0），
∴設(shè)過(guò)點(diǎn)C與AB平行的直線CP的解析式為y=

1

2

x+c，
則

1

2

×

1

2

+c=0，
解得c=-

1

4

，
所以，CP的解析式為y=

1

2

x-

1

4

，
∵CP∥AB，
∴點(diǎn)A、B到CP的距離相等，
∴△PAC、△PBC的面積相等，
此時(shí)，聯(lián)立

y=(x-5)(x- 1 2 ) y= 1 2 x- 1 4

，
解得

x1= 1 2 y1=0

（為點(diǎn)C，舍去），

x2= 11 2 y2= 5 2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

11

2

，

5

2

）．
同理，當(dāng)B（1，2）時(shí)，P（

11

2

，

5

2

）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

11

2

，

5

2

）或（

11

2

，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，直線與圓相切，相似三角形的判定與性質(zhì)，等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離相等的性質(zhì)，（3）是本題的難點(diǎn)，考慮利用CP∥AB求解是解題的關(guān)鍵．