Question

已知拋物線(xiàn)與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

（1）求A、B的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH丄y軸于點(diǎn)H，若DH=HC，求a的值和直線(xiàn)CD的解析式；

（3）在第（2）小題的條件下，直線(xiàn)CD與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)線(xiàn)段OB的中點(diǎn)N作NF丄x軸，并交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F，則直線(xiàn)NF上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線(xiàn)CD的距離等于點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

 解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，

∵a≠0，

∴x²-2x-3=0，

解得x₁=-1，x₂=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）；

（2）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，

∴C（0，-3a），

又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，

得D（1，-4a），

∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，

∴-a=1，

∴a=-1，

∴C（0，3），D（1，4），

設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b，把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得， ，

解得 ，

∴直線(xiàn)CD的解析式為y=x+3；

（3）存在．

由（2）得，E（-3，0），N（- ，0）

∴F（ ， ），EN= ，

作MQ⊥CD于Q，

設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M（ ，m），則FM= -m，

EF= = ，MQ=OM=

由題意得：Rt△FQM∽R(shí)t△FNE，

∴ = ，

整理得4m²+36m-63=0，

∴m²+9m= ，

m²+9m+ = +

（m+ ）²=

m+ =±

∴m₁= ，m₂=- ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₁（ ， ），M₂（ ，- ）．