Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點(diǎn)D是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），連接CD，將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接AE，DE．

（1）求△ADE的周長的最小值；

（2）若CD=4，求AE的長度．

Answer 1

【答案】（1）6+；（2）3﹣或3+

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理得到AB=AC=6，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，當(dāng)DE最小時(shí)，△ADE的周長最小，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，于是得到結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在CF的右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D在CF的左側(cè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3

∴AB=AC=6，

∵∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE與△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，

∴△ADE的周長=AE+AD+DE=AB+DE，

∴當(dāng)DE最小時(shí)，△ADE的周長最小，

過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，

當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最短，等于3，此時(shí)DE=3，

∴△ADE的周長的最小值是6+3；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在CF的右側(cè)，

∵CF=AB=3，CD=4，

∴DF=，

∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；

當(dāng)點(diǎn)D在CF的左側(cè)，同理可得AE=BD=3+，

綜上所述：AE的長度為3﹣或3+．