Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，∠BAD的平分線交于E，點在上，且，連接．

(1) 判斷四邊形的形狀并證明；

(2) 若、相交于點，且四邊形的周長為， ，求的長度及四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）四邊形是菱形，證明略，（2）AE=8；四邊形ABEF的面積是24

【解析】試題分析：（1）由角平分線的定義可得∠BAE=∠FAE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠FAE=∠AEB，然后證明AF=BE，進而可得四邊形ABEF為平行四邊形，再由AB=AF可得四邊形ABEF為菱形；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE⊥BF，BO=3，AE=2AO，利用勾股定理計算出AO的長，進而可得AE的長，根據(jù)菱形面積等于對角線乘積的一半即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）∵AE是∠BAF的角平分線，∴∠BAE=∠FAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形；

（2）∵四邊形ABEF為菱形，且周長為20，∴AB=5，AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面積=AE×BF=×8×6=24．