Question

已知CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面問題：
①若∠BCA=90°，∠a=90°，請在圖1中補全圖形，并證明：BE=CF，EF=|BE-AF|；
②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋�關(guān)于∠a與∠BCA關(guān)系的條件

∠α+∠BCA=180°

，使①中的兩個結(jié)論仍然成立；
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠a=∠BCA，請寫出EF、BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

解答：
（1）①如圖，E點在F點的左側(cè)，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中

∠EBC=∠ACF ∠BEC=∠AFC BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
當(dāng)E在F的右側(cè)時，同理可證EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；
②∠α+∠ACB=180°時，①中兩個結(jié)論仍然成立；
證明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中

∠EBC=∠ACF ∠BEC=∠AFC BC=AC

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
當(dāng)E在F的右側(cè)時，同理可證EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；

（2）EF=BE+AF．
理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，

∠EBC=∠FCA ∠BEC=∠CFA BC=CA

，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，本題比較典型，證明過程類似．