【題目】(1)如圖1,△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,連接BD.若AC=2,BC=1,求△BCD的周長(zhǎng)為;
(2)O為正方形ABCD的中心,E為CD邊上一點(diǎn),F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn),且△EDF的周長(zhǎng)等于AD的長(zhǎng).
①在圖2中求作△EDF(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
②在圖3中補(bǔ)全圖形,求∠EOF的度數(shù);
③若 , 求的值
【答案】解:(1)∵AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,
∴BD=AD,
∴△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3,
(2)①如圖1所示:
△EDF即為所求;
②如圖2所示:AH=DE,
連接OA、OD、OH,
∵點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,
∴OA=OD,∠AOD=90°,∠1=∠2=45°,
在△ODE和△OAH中,
,
∴△ODE≌△OAH(SAS),
∴∠DOE=∠AOH,OE=OH,
∴∠EOH=90°,
∵△EDF的周長(zhǎng)等于AD的長(zhǎng),
∴EF=HF,
在△EOF和△HOF中,
,
∴△EOF≌△HOF(SSS),
∴∠EOF=∠HOF=45°;
③作OG⊥CD于G,OK⊥AD于K,如圖3所示:
設(shè)AF=8t,則CE=9t,設(shè)OG=m,
∵O為正方形ABCD的中心,
∴四邊形OGDK為正方形,CG=DG=DK=KA=AB=OG,
∴GE=CE﹣CG=9t﹣m,DE=2CG﹣CE=2m﹣9t,F(xiàn)K=AF﹣KA=8t﹣m,DF=2DK﹣AF=2m﹣8t,
由(2)②知△EOF≌△HOF,
∴OE=OH,EF=FH,
在Rt△EOG和Rt△HOK中,
,
∴Rt△EOG≌Rt△HOK(HL),
∴GE=KH,
∴EF=GE+FK=9t﹣m+8t﹣m=17t﹣2m,
由勾股定理得:DE2+DF2=EF2 ,
∴(2m﹣9t)2+(2m﹣8t)2=(17t﹣2m)2 ,
整理得:(m+6t)(m﹣6t)=0,
∴m=6t,
∴OG=OK=6t,GE=9t﹣m=9t﹣6t=3t,F(xiàn)K=8t﹣m=2t,
∴====.
【解析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD=AD,得出△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+AC,即可得出結(jié)果;
(2)①在AD上截取AH=DE,再作EG的垂直平分線,交AD于F,△EDF即為所求;
②連接OA、OD、OH,由正方形的性質(zhì)得出∠1=∠2=45°,由SAS證明△ODE≌△OAH,得出∠DOE=∠AOH,OE=OH,得出∠EOH=90°,證出EF=HF,由SSS證明△EOF≌△HOF,得出∠EOF=∠HOF=45°即可;
③作OG⊥CD于G,OK⊥AD于K,設(shè)AF=8t,則CE=9t,設(shè)OG=m,由正方形的性質(zhì)得出GE=CE﹣CG=9t﹣m,DE=2CG﹣CE=2m﹣9t,F(xiàn)K=AF﹣KA=8t﹣m,DF=2DK﹣AF=2m﹣8t,由HL證明Rt△EOG≌Rt△HOK,得出GE=KH,因此EF=GE+FK=17t﹣2m,由勾股定理得出方程,解方程求出m=6t,得出OG=OK=6t,GE=9t﹣m=9t﹣6t=3t,F(xiàn)K=8t﹣m=2t,由勾股定理即可得出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】北京聯(lián)合張家口成功申辦2022年冬奧會(huì)后,滑雪運(yùn)動(dòng)已成為人們喜愛的娛樂健身項(xiàng)目.如圖是某滑雪場(chǎng)為初學(xué)者練習(xí)用的斜坡示意圖,出于安全因素考慮,決定將斜坡的傾角由45°降為30°,已知原斜坡坡面AB長(zhǎng)為200米,點(diǎn)D,B,C在同一水平地面上,求改善后的斜坡坡角向前推進(jìn)的距離BD.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈2.45)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】奧林匹克公園觀光塔由五座高度不等、錯(cuò)落有致的獨(dú)立塔組成.在綜合實(shí)踐活動(dòng)課中,某小組的同學(xué)決定利用測(cè)角儀測(cè)量這五座塔中最高塔的高度(測(cè)角儀高度忽略不計(jì)).他們的操作方法如下:如圖,他們先在B處測(cè)得最高塔塔頂A的仰角為45°,然后向最高塔的塔基直行90米到達(dá)C處,再次測(cè)得最高塔塔頂A的仰角為58°.請(qǐng)幫助他們計(jì)算出最高塔的高度AD約為多少米.(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(x﹣1)(x+1)=x2﹣1,
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1,
(x﹣1)(x3+x2+x+1)= ,
…
猜想:(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x2+x+1)= ,
(2)根據(jù)以上結(jié)果,試寫出下面兩式的結(jié)果
①(x﹣1)(x49+x48+…+x2+x+1)= ,
②(x20﹣1)÷(x﹣1)= ,
(3)利用以上結(jié)論求值:1+3+32+33+34+……+32017
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,AB=,把△ABC沿直線BC向右平移得到△DEF.如果E是BC的中點(diǎn),AC與DE交于P點(diǎn),以直線BC為x軸,點(diǎn)E為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.
(1)求△ABC與△DEF的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)判斷△PEC的形狀;
(3)求△PEC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,BD,CE分別是∠ABC,∠ACB平分線,BD,CE相交于點(diǎn)P.
(1)如圖1,如果∠A=60°,∠ACB=90°,則∠BPC= ;
(2)如圖2,如果∠A=60°,∠ACB不是直角,請(qǐng)問(wèn)在(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明:若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)小月同學(xué)在完成(2)之后,發(fā)現(xiàn)CD、BE、BC三者之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系,于是她在邊CB上截取了CF=CD,連接PF,可證△CDP≌△CFP,請(qǐng)你寫出小月同學(xué)發(fā)現(xiàn),并完成她的說(shuō)理過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖①表示的是某綜合商場(chǎng)今年1~5月的商品各月銷售總額的情況,圖②表示的是商場(chǎng)服裝部各月銷售額占商場(chǎng)當(dāng)月銷售總額的百分比情況,觀察圖①、圖②,解答下列問(wèn)題:
(1)來(lái)自商場(chǎng)財(cái)務(wù)部的數(shù)據(jù)報(bào)告表明,商場(chǎng)1~5月的商品銷售總額一共是410萬(wàn)元,請(qǐng)你根據(jù)這一信息將圖①中的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)商場(chǎng)服裝部5月份的銷售額是多少萬(wàn)元?
(3)小剛觀察圖②后認(rèn)為,5月份商場(chǎng)服裝部的銷售額比4月份減少了.你同意他的看法嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+的圖象向下平移9個(gè)單位,求平移后的圖象的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,平移后的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),直線y=kx+b(k>0)過(guò)點(diǎn)B,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線BC上方的拋物線與線段BC組成新的圖象,當(dāng)此新圖象的最小值大于﹣5時(shí),求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是規(guī)格為8×8的正方形網(wǎng)格,請(qǐng)在所給網(wǎng)格中按下列要求操作:
(1)在第二象限內(nèi)的格點(diǎn)上畫一點(diǎn)C, 使點(diǎn)C與線段AB組成一個(gè)以AB為底的等腰三角形, 且腰長(zhǎng)是無(wú)理數(shù), 則C點(diǎn)坐標(biāo)是____________,△ABC的面積是_____________________.
(2)畫出△ABC,以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)180°后的△A′B′C,連結(jié)AB′和A′B, 則四邊形AB A′B′的形狀是何特殊四邊形?___________________.
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在P點(diǎn),使得△PAB與△CAB的面積相等?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(寫出一種情況即可)___________________.
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