Question

【題目】在中，,

（1）如圖，是上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線截，使截得的三角形與相似．例如：過(guò)點(diǎn)作交于，則截得的與相似．請(qǐng)你在圖中畫(huà)出所有滿足條件的直線．

（2）如圖，是上異于點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線截，使截得的三角形與相似，直接寫出滿足條件的直線的條數(shù)．（不要求畫(huà)出具體的直線）

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

(1)利用平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似的判定定理過(guò)點(diǎn)P作兩條，再利用兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似的判定定理，過(guò)點(diǎn)P作兩條.

(2)把Q點(diǎn)看成從C點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Q點(diǎn)在某一個(gè)位置時(shí)，所作截的三角形與原三角形相似的數(shù)量減少了一個(gè)，通過(guò)此時(shí)的臨界條件把QC的長(zhǎng)度計(jì)算出來(lái)，進(jìn)行分類說(shuō)明.

（1）如圖所示：

第一種：利用平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似的判定定理，過(guò)點(diǎn)P分別做AB與BC的平行線PD與PE.分別得到△ADP∽△ABC. △PCE∽△ACB.

第二種：利用兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似的判定定理，過(guò)P分別做PG垂直AB于點(diǎn)G，做PF交BC于點(diǎn)F，使∠PFC=∠A.分別得到△AGP∽△ACB, △FPC∽△ACB.

（2）

如圖所示，假設(shè)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始往點(diǎn)B移動(dòng)，由（1）可知，作QD⊥AB，

得△BQD∽△BAC.作QF交AC于點(diǎn)F，使∠QFC=∠B，得△QCF∽△ACB.

作QE∥AC，得△BQE∽△BCA.作QG∥AB，得△QCG∽△BCA.

當(dāng)移動(dòng)到位置時(shí)，此時(shí)出現(xiàn)點(diǎn)F于點(diǎn)A重合，此時(shí)是一個(gè)臨界點(diǎn)，利用△QCF∽△ACB得到，則又此時(shí)CA=CF，所以QC=

該點(diǎn)往左移動(dòng)，不能在三角形ABC內(nèi)做出作QF交AC于點(diǎn)F，該點(diǎn)往右移動(dòng)，可以在三角形ABC內(nèi)做出作QF交AC于點(diǎn)F，使△QCF∽△ACB.

故當(dāng)0＜QC≤時(shí)，滿足條件的直線有4條；

當(dāng)＜QC＜6時(shí)，滿足條件的直線有3條．