Question

【題目】已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（1）求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；

（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為A，P為圖象上的一點(diǎn)，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為M，試探索點(diǎn)M是否在拋物線y=ax2+x+1上？若在拋物線上，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+1或y=x2+x+1；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣10，16）；（3）點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1上

【解析】分析：（1）此題應(yīng)分兩種情況：①a=0，此函數(shù)是一次函數(shù)，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

②a≠0，此函數(shù)是二次函數(shù)，可由根的判別式求出a的值，以此確定其解析式；

（2）設(shè)圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連接PC，由圓周角定理知PC⊥BC；由于PB是圓的直徑，且AB切圓于B，得PB⊥AB，由此可證得△PBC∽△BAO，根據(jù)兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例，即可得到PC、BC的比例關(guān)系，可根據(jù)這個(gè)比例關(guān)系來設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）連接CM，設(shè)CM與PB的交點(diǎn)為Q，由于C、M關(guān)于直線PB對(duì)稱，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；過M作MD⊥x軸于D，取CD的中點(diǎn)E，連接QE，則QE是Rt△CMD的中位線；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易證得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它們的正切值都等于（在（2）題已經(jīng)求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已經(jīng)求出了CB的長，根據(jù)CE、BE的比例關(guān)系，即可求出BE、CE、QE的長，由此可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，也就得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可．

詳解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=x+1，圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)

當(dāng)a≠0時(shí)，△=1﹣4a=0，a=，此時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

∴函數(shù)的解析式為：y=x+1或y=x2+x+1；

（2）設(shè)P為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C；

∵y=ax2+x+1是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關(guān)系式為：

y=x2+x+1，

∴頂點(diǎn)為B（﹣2，0），圖象與y軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)為A（0，1）

∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B

∴PB⊥AB則∠PBC=∠BAO

∴Rt△PCB∽Rt△BOA

∴，故PC=2BC，

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），

∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，

∴∠PBO是鈍角，

∴x＜﹣2

∴BC=﹣2﹣x，PC=﹣4﹣2x，

即y=﹣4﹣2x，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣4﹣2x）

∵點(diǎn)P在二次函數(shù)y=x2+x+1的圖象上，

∴﹣4﹣2x=x2+x+1

解之得：x1=﹣2，x2=﹣10

∵x＜﹣2，

∴x=﹣10，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣10，16）

（3）點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1上

由（2）知：C為圓與x軸的另一交點(diǎn)，連接CM，CM與直線PB的交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點(diǎn)E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位線．

∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE

∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x軸

∴∠QCE=∠EQB=∠CPB

∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，

故BE=，QE=

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）

可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

∵

∴C點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1上．