【題目】已知:函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式;

(2)如圖所示,設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為A,P為圖象上的一點(diǎn),若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B,求P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在(2)中,若圓與x軸另一交點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為M,試探索點(diǎn)M是否在拋物線y=ax2+x+1上?若在拋物線上,求出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=x+1y=x2+x+1;(2)P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(﹣10,16);(3)點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1

【解析】分析:(1)此題應(yīng)分兩種情況:①a=0,此函數(shù)是一次函數(shù),與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);

a≠0,此函數(shù)是二次函數(shù),可由根的判別式求出a的值,以此確定其解析式;

(2)設(shè)圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,連接PC,由圓周角定理知PCBC;由于PB是圓的直徑,且AB切圓于B,得PBAB,由此可證得PBC∽△BAO,根據(jù)兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例,即可得到PC、BC的比例關(guān)系,可根據(jù)這個(gè)比例關(guān)系來設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)連接CM,設(shè)CMPB的交點(diǎn)為Q,由于C、M關(guān)于直線PB對(duì)稱,那么PB垂直平分CM,即CQ=QM;過MMDx軸于D,取CD的中點(diǎn)E,連接QE,則QERtCMD的中位線;在RtPCB中,CQOB,QEBC,易證得∠BQE、QCE都和∠CPQ相等,因此它們的正切值都等于(在(2)題已經(jīng)求得);由此可得到CE=2QE=4BE,(2)中已經(jīng)求出了CB的長,根據(jù)CE、BE的比例關(guān)系,即可求出BE、CE、QE的長,由此可得到Q點(diǎn)坐標(biāo),也就得到M點(diǎn)的坐標(biāo),然后將點(diǎn)M代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可.

詳解:(1)當(dāng)a=0時(shí),y=x+1,圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)

當(dāng)a≠0時(shí),=1﹣4a=0,a=,此時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

∴函數(shù)的解析式為:y=x+1y=x2+x+1;

(2)設(shè)P為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過點(diǎn)PPCx軸于點(diǎn)C;

y=ax2+x+1是二次函數(shù),由(1)知該函數(shù)關(guān)系式為:

y=x2+x+1,

∴頂點(diǎn)為B(﹣2,0),圖象與y軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)為A(0,1)

∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B

PBAB則∠PBC=BAO

RtPCBRtBOA

,故PC=2BC,

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),

∵∠ABO是銳角,∠PBA是直角,

∴∠PBO是鈍角,

x<﹣2

BC=﹣2﹣x,PC=﹣4﹣2x,

y=﹣4﹣2x,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,﹣4﹣2x)

∵點(diǎn)P在二次函數(shù)y=x2+x+1的圖象上,

﹣4﹣2x=x2+x+1

解之得:x1=﹣2,x2=﹣10

x<﹣2,

x=﹣10,

P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(﹣10,16)

(3)點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1

由(2)知:C為圓與x軸的另一交點(diǎn),連接CM,CM與直線PB的交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)Mx軸的垂線,垂足為D,取CD的中點(diǎn)E,連接QE,則CMPB,且CQ=MQ,即QE是中位線.

QEMD,QE=MD,QECE

CMPB,QECE,PCx

∴∠QCE=EQB=CPB

tanQCE=tanEQB=tanCPB=

CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,

BE=,QE=

Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣,

可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,

C點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)M不在拋物線y=ax2+x+1上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】中考體育測(cè)試前,某區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的初三男生的成績情況,隨機(jī)抽測(cè)了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績,并將測(cè)試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:

請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:

)寫出扇形圖中__________,并補(bǔ)全條形圖.

)在這次抽測(cè)中,測(cè)試成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是__________個(gè)、__________個(gè)

)該區(qū)體育中考選報(bào)引體向上的男生共有人,如果體育中考引體向上達(dá)個(gè)以上(含個(gè))得滿分,請(qǐng)你估計(jì)該區(qū)體育中考中選報(bào)引體向上的男生能獲得滿分的有多少名?

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【題目】20141月,國家發(fā)改委出臺(tái)指導(dǎo)意見,要求2015年底前,所有城市原則上全面實(shí)行居民階梯水價(jià)制度.小明為了解市政府調(diào)整水價(jià)方案的社會(huì)反響,隨機(jī)訪問了自己居住在小區(qū)的部分居民,就每月每戶的用水量調(diào)價(jià)對(duì)用水行為改變兩個(gè)問題進(jìn)行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果整理成下面的圖1,圖2

小明發(fā)現(xiàn)每月每戶的用水量在5m2-35m2之間,有8戶居民對(duì)用水價(jià)格調(diào)價(jià)漲幅抱無所謂,不用考慮用水方式的改變.根據(jù)小明繪制的圖表和發(fā)現(xiàn)的信息,完成下列問題:

1n= ,小明調(diào)查了 戶居民,并補(bǔ)全圖1;

2)每月每戶用水量的中位數(shù)和眾數(shù)分別落在什么范圍?

3)如果小明所在的小區(qū)有1800戶居民,請(qǐng)你估計(jì)視調(diào)價(jià)漲幅采取相應(yīng)的用水方式改變的居民戶數(shù)有多少?

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其中正確的命題序號(hào)為_____.

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【題目】20筐白菜,以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn),超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示,記錄如下:

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值(單位:千克)

0

1

2.5

筐數(shù)

1

4

2

3

2

8

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2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較,20筐白菜總計(jì)超過或不足多少千克?

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1)如圖1所示,易證:OH=ADOHAD(不需證明)

2)將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2,圖3所示位置時(shí),線段OHAD又有怎樣的關(guān)系,并選擇一個(gè)圖形證明你的結(jié)論.

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