Question

【題目】已知，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線AC和BD相交于點E，AC是的直徑．

如圖1，連接OB和OD，求證：；

如圖2，延長BA到點F，使，在AD上取一點G，使，連接FG和FC，過點G作，垂足為M，過點D作，垂足為N，求的值；

如圖3，在的條件下，點H為FG的中點，連接DH交于點K，連接AK，若，，求線段BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3） .

【解析】

(1)利用圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB，∠COD=2∠DBC，得用三角形的外角定理得到∠ACB+∠DBC=∠AEB，從而得到結(jié)論；

(2)連接GC，先證明∠MCG=∠NCD，得到；

(3)先證≌，再證≌，設(shè)PQ=a，PD=7a，可求出QD=a，RQ=a，利用三角函數(shù)關(guān)系即可求解.

證明：如圖1中，

，

，

，

，

，

，

．

如圖2中，連接GC．

是直徑，

，

，

，，

，，

，

，

．

如圖3中，延長DH到T，使得，連接TF，TB，CK，作于P交AD于點Q，作于R．

點H是FG的中點，

，

，，

≌，

，，

，，

，

，，

，

，

，

≌，

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，設(shè)，，

在中，可得，

，

，

在中，，

在中，，

，

，

在中，，

，

，

，

，

，設(shè)，，則，

，

．

故答案為：(1)證明見解析；(2)；(3).