Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，∠ADE=∠CDF．

（1）求證：AE=CF；

（2）連結DB交EF于點O，延長OB至點G，使OG=OD，連結EG、FG，判斷四邊形DEGF是否是菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析

(2)四邊形DEGF是菱形．理由見解析

【解析】

試題（1）由正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“SAS”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CF；

（2）由（1）可得BE=BF，從而可得DE=DF，再根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線可得BD為EF的中垂線，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得證．

試題解析：（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，

又∵∠ADE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF；

（2）四邊形DEGF是菱形．

理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，

∵AE=CF，

∴AB﹣AE=BC﹣CF，

即BE=BF，

∵△ADE≌△CDF，

∴DE=DF，

∴BD垂直平分EF，

又∵OG=OD，

∴四邊形DEGF是菱形．