已知拋物線的解析式為y=-x2+2mx+4-m2.
(1)求證:不論m取何值,此拋物線與x軸必有兩個交點,且兩交點A、B之間的距離為定值;
(2)設(shè)點P為此拋物線上一點,若△PAB的面積為8,求符合條件的所有點P的坐標(可用含m的代數(shù)式表示)
(3)若(2)中△PAB的面積為s(s>0),試根據(jù)面積s值的變化情況,確定符合條件的點P的個數(shù).
【答案】
分析:(1)本題需先求出△的值,再證出△>0,再設(shè)出A、B的坐標,然后代入公式即可求出AB的長.
(2)本題需先設(shè)出P的坐標,再由題意得出b的值,然后即可求出符合條件的所有點P的坐標.
(3)本題需分當s=8時,當0<s<8時,當s>8時三種情況進行討論,即可得出符合條件的點P的個數(shù).
解答:解:(1)∵△=(2m)
2-4×(-1)(4-m
2)=16>0,
∴不論m取何值,此拋物線與x軸必有兩個交點.
設(shè)A(x
1,0),B(x
2,0),
則
=
;
(2)設(shè)P(a,b),則由題意b=-a
2+2am+4-m
2,且
,
解得b=±4.
當b=4時得:a=m.
即P(m,4);
當b=-4時得:
.即
或P(m-2
,-4);
(3)由(2)知當s=8時,符合條件的點P有2個,
知當0<s<8時,符合條件的點P有4個,
當知當s>8時,符合條件的點P有2個.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,在解題時要綜合應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及分類討論思想是本題的關(guān)鍵.