【題目】在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=0.6,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△A1B1C.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長線上時(shí).①求證:BB1∥CA1;②求△AB1C的面積;
(2)如圖2,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段AB上的動點(diǎn),在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F1 , 求線段EF1長度的最大值與最小值的差.
【答案】
(1)①證明:∵AB=AC,B1C=BC,
∴∠BB1C=∠B,∠B=∠ACB,
∵∠A1CB1=∠ACB(旋轉(zhuǎn)角相等),
∴∠BB1C=∠A1CB1,
∴BB1∥CA1,
②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,
∵cos∠ABC=0.6,AB=5,
∴BF=3,
∴BC=6∴B1C=BC=6
∵CE⊥AB,
∴BE=B1E= ×6= ,
∴BB1= ,CE= ,
∴AB1= ,
∴△AB1C的面積為: =
(2)解:如圖3,
過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,EF1有最小值.
此時(shí)在Rt△BFC中,CF=4.8,
∴CF1=4.8,
∴EF1的最小值為4.8﹣3=1.8;
如圖,以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1',EF1'有最大值.
此時(shí)EF1'的最大值為EC+CF1'=3+6=9,
∴線段EF1的最大值與最小值的差為9﹣1.8=7.2.
【解析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證得BB1∥CA1;②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形及三角形的面積公式,即可求得答案。
(2)此題轉(zhuǎn)化到圓中求解,過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,可求得EF1的最小值,以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1',求得EF1'的最大值,即可求得線段EF1的最大值與最小值的差。
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【題目】如圖,等腰直角三角形ABD中,∠A=90°,AB=AD=2,作△ABD關(guān)于直線BD對稱的△CBD,已知點(diǎn)F為線段AB上一點(diǎn),且AF=m,連接CF,作∠FCE=90°,CE交AD的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:△BCF≌△DCE;
(2)若AE=n,且mn=3,求m2+n2的值.
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【題目】在直角三角形ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,AD、BE相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DG∥AB,過點(diǎn)B作BG⊥DG交DG于點(diǎn)G.下列結(jié)論:①∠AFB=135°;②∠BDG=2∠CBE;③BC平分∠ABG;④∠BEC=∠FBG.其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們把橫 、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).已知點(diǎn)
A(0,4),點(diǎn)B是軸正半軸上的整點(diǎn),記△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m.當(dāng)m=3時(shí),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是 ▲ ;當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n(n為正整數(shù))時(shí),m= (用含n的代數(shù)式表示.)
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【題目】作圖:在如圖所示的方格紙中,每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形.按要求畫出下列圖形:
(1)將△ABC向右平移5個(gè)單位得到△A′B′C′;
(2)將△A′B′C′繞點(diǎn)A′順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′DE;
(3)連結(jié)EC′,則△A′EC′是 三角形.
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【題目】如圖,BD丄AC 于D,EF丄AC 于F.∠AMD=∠AGF.∠1=∠2=35°
(1)求∠GFC的度數(shù):
(2)求證:DM∥BC.
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【題目】如圖:△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,其中∠B=50°,∠C=60°.
(1)若AD平分∠BAC時(shí),求∠BAD的度數(shù).
(2)若AC⊥DE時(shí),AC與DE交于點(diǎn)F,求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).
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【題目】為了預(yù)防流感,某學(xué)校在休息日用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒. 已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)成正比;藥物釋放完畢后,y與t之間的函數(shù)解析式為y=(a為常數(shù)),如圖所示. 根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)寫出從釋放藥物開始,y與t之間的兩個(gè)函數(shù)解析式及相應(yīng)的自變量取值范圍;
(2)據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25mg以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)入教室,那么藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少小時(shí),學(xué)生才能進(jìn)入教室?
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【題目】列方程組解應(yīng)用題
王大伯承包了25畝土地,今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜,用去了44000元.其中種茄子每畝用了1700元,獲純利2400元;種西紅柿每畝用了1800元,獲純利2600元.
問(1)茄子和西紅柿各種了多少畝?
(2)王大伯一共獲純利多少元?
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