Question

如圖1，拋物線(xiàn)y=ax²-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，將△AOC沿x軸對(duì)折得到△AOC₁，再將△AOC₁繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△A₁O₁C₂（A，O，C1分別與點(diǎn)A₁，O₁，C₂對(duì)應(yīng)）使點(diǎn)A₁，C₂在拋物線(xiàn)上，求A₁，C₂的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令拋物線(xiàn)解析式中x=0，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即為C的縱坐標(biāo)，確定出C的坐標(biāo)，再由BC與x軸平行，得到B的縱坐標(biāo)與C的縱坐標(biāo)相等，把此時(shí)的縱坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出x的值，得到B的橫坐標(biāo)，確定出B的坐標(biāo)，又AC=BC，由BC的長(zhǎng)得到AC的長(zhǎng)，在直角三角形AOC中，由AC及OC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，確定出A的坐標(biāo)，把A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式中，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）分三種情況考慮：①以AB為腰且頂角為∠A時(shí)，有AB=AP₁，過(guò)B作BN⊥x軸，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于M，且由拋物線(xiàn)解析式求出對(duì)稱(chēng)軸，由OA+ON求出AN的長(zhǎng)，在直角三角形ABN中，由AN，BN，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即為AP₁的長(zhǎng)，在直角三角形AMP₁中，由AP1及AM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出P₁M的長(zhǎng)，再根據(jù)P₁為對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)及為第四象限的點(diǎn)，得出P₁的坐標(biāo)；②以AB為腰且頂角為∠B時(shí)，有AB=BP₂，同理BP₂的長(zhǎng)，在Rt△BQP₂中，根據(jù)勾股定理求出QP₂的長(zhǎng)，再由QM等于B的縱坐標(biāo)，求出MP₂的長(zhǎng)，再根據(jù)P₂為對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)及為第四象限的點(diǎn)，得出P₂的坐標(biāo)；③以AB為底，頂角為∠P時(shí)，P₃為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，又AC=BC，故C也在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，
即直線(xiàn)CP₃為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，由A和B的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的方程為y=kx+b，把C和線(xiàn)段AB的中點(diǎn)代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的方程，將對(duì)稱(chēng)軸x的值代入求出y的值，即為P₃的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定出P₃的坐標(biāo)；
（3）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)M為對(duì)稱(chēng)中心，即M為AA₁的中點(diǎn)，M為C₁C₂的中點(diǎn)，由C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)性得到C₁的坐標(biāo)，再由A和M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出C₂及A₁的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令拋物線(xiàn)y=ax²-5ax+4中x=0，求得y=4，
∴C（0，4），又BC∥x軸，
∴B的縱坐標(biāo)為4，
把y=4代入y=ax²-5ax+4得：ax²-5ax=0，即ax（x-5）=0，
解得：x=0（舍去）或x=5，
∴B的坐標(biāo)為（5，4），
∴BC=5，又AC=BC，
∴AC=5，又OC=4，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：OA=

AC2-OC2

=3，
∴A（-3，0），
把x=-3，y=0代入y=ax²-5ax+4得：9a+15a+4=0，
解得：a=-

1

6

，
則拋物線(xiàn)解析式為y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；


（2）存在符合條件的點(diǎn)P，共有3個(gè)，
①以AB為腰且頂角為∠A時(shí)，有AB=AP₁，
過(guò)B作BN⊥x軸，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于M，
由拋物線(xiàn)y=-

1

6

x²+

5

6

x+4，得到對(duì)稱(chēng)軸為x=

5

2

，
又∵A（-3，0），B（5，4），
∴OA=3，ON=5，BN=4，
∴AN=OA+ON=8，
在Rt△ABN中，利用勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=4

5

，
∴AP₁=4

5

，又AM=3+

5

2

=

11

2

，
在Rt△AMP₁中，根據(jù)勾股定理得：MP₁=

AP12-AM2

=

199

2

，
則P₁（

5

2

，-

199

2

）；
②以AB為腰且頂角為∠B時(shí)，有AB=BP₂，同理BP₂=4

5

，
又BQ=

1

2

BC=

5

2

，QM=4，
在Rt△BQP₂中，根據(jù)勾股定理得：QP₂=QM+MP₂=

BP22-QB2

，
∴4+MP₂=

295

2

，即MP₂=

295 -8

2

，
則P₂（

5

2

，

8- 295

2

）；
③以AB為底，頂角為∠P時(shí)，P₃為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，
又∵AC=BC，故C也在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，
即直線(xiàn)CP₃為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，
由A和B的坐標(biāo)，得到線(xiàn)段AB的中點(diǎn)W坐標(biāo)為（

5-3

2

，

0+4

2

），即（1，2），
又∵C（0，4），
設(shè)直線(xiàn)WC的方程為：y=kx+b，
把W和C的坐標(biāo)代入得：

k+b=2 b=4

，
解得：k=-2，b=4，
∴線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的方程為y=-2x+4，
將x=

5

2

代入得：y=-2×

5

2

+4=-1，
則P₃（

5

2

，-1），
綜上，滿(mǎn)足題意的P有三個(gè)，分別為：P₁（

5

2

，-

199

2

）；P₂（

5

2

，

8- 295

2

）；P₃（

5

2

，-1）；

（3）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得到：對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)M為對(duì)稱(chēng)中心，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到：C₁M=C₂M，AM=A₁M，
∵A（-3，0），M（

5

2

，0），
∴A₁的坐標(biāo)為（2×

5

2

+3，0），即（8，0），
又∵C（0，4），
∴C₁（0，-4），又M（

5

2

，0），
∴C₂的坐標(biāo)為（2×

5

2

-0，2×0+4），即（5，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理，以及折疊、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化，分類(lèi)討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道綜合性強(qiáng)、較難的題，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面．