Question

（2013•揚州）如圖，已知⊙O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點，M、N為

AB

上兩點，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=

33

．

Answer 1

分析：延長ME交⊙O于G，根據(jù)圓的中心對稱性可得FN=EG，過點O作OH⊥MG于H，連接MO，根據(jù)圓的直徑求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根據(jù)垂徑定理可得MG=2MH，從而得解．

解答：解：如圖，延長ME交⊙O于G，
∵E、F為AB的三等分點，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG，
過點O作OH⊥MG于H，連接MO，
∵⊙O的直徑AB=6，
∴OE=OA-AE=

1

2

×6-

1

3

×6=3-2=1，
OM=

1

2

×6=3，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE•sin60°=1×

3

2

=

3

2

，
在Rt△MOH中，MH=

OM2-OH2

=

32-( 3 2 )2

=

33

2

，
根據(jù)垂徑定理，MG=2MH=2×

33

2

=

33

，
即EM+FN=

33

．
故答案為：

33

．

點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，以及解直角三角形，作輔助線并根據(jù)圓的中心對稱性得到FN=EG是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．