Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），連接AD，交y軸于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 　；

（2）動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，也以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸方向運(yùn)動（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動），設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動了x秒．

①請用含x的代數(shù)式分別表示P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)x＝2時(shí)，y軸上是否存在一點(diǎn)E，使得△AQE的面積與△APQ的面積相等？若存在，求E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由？

（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，過點(diǎn)Q作x軸的平行線OF（點(diǎn)G、F分別位于y軸的左、右兩側(cè)），∠GQP與∠APQ的角平分線交于點(diǎn)M，則∠PMQ的大小會隨點(diǎn)P、Q的運(yùn)動而變化嗎？如果不變化，請求出∠PMQ的度數(shù)：若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，5）；（2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；②存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，18.2）或（0，﹣4.2）；（3）∠PMQ的度數(shù)不變，值為90°．

【解析】

（1）作DE⊥x軸，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出AE、DE、AO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)題意、結(jié)合圖形解答；

②分E在y軸的正半軸和E在y軸的負(fù)半軸兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

（3）得出∠GQP+∠APQ＝180°，求出∠PQM+∠QPM＝90°，則∠PMQ的度數(shù)不變．

（1）作DE⊥x軸，

∵A（﹣5，0），D（2，7），

∴AE＝DE＝7，AO＝5，

∵△CAO，△DAE為直角三角形，

∴∠CAO＝45°，

∴△CAO是等腰直角三角形，

∴CO＝AO＝5，

∴C（0，5）；

故答案為：（0，5）．

（2）①∵動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向運(yùn)動，B（5，0），

∴P（5﹣x，0）．

∵動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸方向運(yùn)動，C（0，5），

∴Q（0，5+x）．

即P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；

②存在．設(shè)E的坐標(biāo)為（0，y），

當(dāng)x＝2時(shí)，S△APQ＝（5+3）×7÷2＝28，

情況一：E在y軸的正半軸．

（y﹣7）×5÷2＝28．

∴y＝18.2．

∴E（0，18.2），

情況二：E在y軸的負(fù)半軸，

（7﹣y）×5÷2＝28，

∴y＝﹣4.2，

∴E（0，﹣4.2），

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，18.2）或（0，﹣4.2）．

（3）不變．

∵GF∥x軸，

∴∠GQP+∠APQ＝180°，

∵QM，PM分別平分∠GQP，∠APQ，

∴∠PQM＝∠GQP，∠QPM＝∠APQ．

∴∠PQM+∠QPM＝ ∠GQP+∠APQ＝（∠GQP+∠APQ）＝×180°＝90°，

∵∠PMQ+∠PQM+∠QPM＝180°，

∴∠PMQ＝180°﹣（∠PQM+∠QPM）＝180°﹣90°＝90°，

∴∠PMQ的度數(shù)不變．