Question

【題目】已知y是x的二次函數(shù)，該函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0，5)、B(1，2)、C(3，2)．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式，畫出它的大致圖象并標(biāo)注頂點及其坐標(biāo)；

（2）結(jié)合圖象，回答下列問題：

①當(dāng)1≤x≤4時，y的取值范圍是　 　；

②當(dāng)m≤x≤m+3時，求y的最大值（用含m的代數(shù)式表示）；

③是否存在實數(shù)m、n（m≠n），使得當(dāng)m≤x≤n時，m≤y≤n？若存在，請求出m、n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+5，見解析；（2）①1≤y≤5，②當(dāng)x＝m+3時，y有最大值為y＝m2﹣+2m+2；當(dāng)x＝m時，y有最大值為y＝m2﹣4m+5，③存在，m＝，n＝

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求出解析式，用描點法畫出函數(shù)圖象；

（2）①根據(jù)函數(shù)圖象找出橫坐標(biāo)由1到4的點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值，便可寫出y的取值范圍；

②先求出對稱軸x＝﹣，分兩種情況：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求y的最大值便可；

③利用已知可得圖象過（a，a）點，進(jìn)而得出a的值，即可得出m，n的值．

（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2+bx+c（a≠0），則

，

解得，，

∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣4x+5，

列表如下：

x	…	0	1	2	3	4	…
y	…	5	2	1	2	5	…

描點、連線，

（2）①由函數(shù)圖象可知，

當(dāng)，當(dāng)

∴當(dāng)1≤x≤4時，1≤y≤5，

故答案為：1≤y≤5；

②∵二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣4x+5，

∴對稱軸為x＝2，

當(dāng)2﹣m≤m+3﹣2，即m≥時，則在m≤x≤m+3內(nèi)，當(dāng)x＝m+3時，y有最大值為y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；

當(dāng)2﹣m＞m+3﹣2，即m＜時，則在m≤x≤m+3內(nèi)，當(dāng)x＝m時，y有最大值為y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；

③由已知可得圖象過（a，a）點，

∴a＝a2﹣4a+5，

解得，a＝，

∵當(dāng)m≤x≤n時，m≤y≤n，

∴可以取m＝，n＝．