Question

如圖，拋物線y=﹣x²+3x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點D在拋物線上且橫坐標為3．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）點P為拋物線上一點，且∠DBP=45°，求點P的坐標．

Answer 1

（1）tan∠DBC=；
（2）P（﹣，）．

試題分析：（1）連接CD，過點D作DE⊥BC于點E．利用拋物線解析式可以求得點A、B、C、D的坐標，則可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性質、勾股定理和圖中相關線段間的關系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；
（2）過點P作PF⊥x軸于點F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的結果得到：tan∠PBF=．設P（x，﹣x²+3x+4），則利用銳角三角函數定義推知=，通過解方程求得點P的坐標為（﹣，）．
試題解析：
（1）令y=0，則﹣x²+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，
解得 x₁=﹣1，x₂=4．
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
當x=3時，y=﹣3²+3×3+4=4，
∴D（3，4）．
如圖，連接CD，過點D作DE⊥BC于點E．

∵C（0，4），
∴CD//AB，
∴∠BCD=∠ABC=45°．
在直角△OBC中，∵OC=OB=4，
∴BC=4．
在直角△CDE中，CD=3．
∴CE=ED=，
∴BE=BC﹣DE=．
∴tan∠DBC=；
（2）過點P作PF⊥x軸于點F．
∵∠CBF=∠DBP=45°，
∴∠PBF=∠DBC，
∴tan∠PBF=．
設P（x，﹣x²+3x+4），則=，
解得 x₁=﹣，x₂=4（舍去），
∴P（﹣，）．