Question

【題目】如圖所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以B為圓心，半徑為3的⊙O沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，當(dāng)⊙O運(yùn)動(dòng)到與直線相交于點(diǎn)C時(shí)（點(diǎn)O在BC上），⊙O停止運(yùn)動(dòng)．

（1） （2） （3）
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在平移過(guò)程中，若⊙O與AB相切于點(diǎn)D，連接CD ， 求△ACD的面積；
（3）在平移過(guò)程中，若⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)G時(shí)， E、F為OC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝1.6，當(dāng)四邊形AGEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，試求OE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）

答：直線AB與⊙O相切

證明：作OD⊥AB于D，

∵BC＝8，OC＝3，∴OB＝5

∵AC＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理，

得AB＝ ＝ ＝10

在△ABC和△OBD中，

∵∠ACB＝∠ODB＝90°，∠B＝∠B，∴△ABC∽△OBD

∴ ＝ ，∴OD＝ ＝ ＝3

∴直線AB與⊙ O相切

（2）

解：過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于H

則，

∴DH＝＝ ＝

S△ACD＝AC·DH＝×6× ＝

（3）

連接GO與⊙O相交于點(diǎn)G′，則OG＝OG′，過(guò)A作AN//OG相交于N，在AN上截取AM＝1.6，連接MG′與BC交于點(diǎn)E，在EC上截取EF＝1.6，

則四邊形EFAM為平行四邊形，得ME＝AF，又AG、EF的長(zhǎng)為定值，

∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形AGEF的周長(zhǎng)最小

∵OE∥AN，∴Rt△OEG′∽R(shí)t△NM G′，∴ ＝ ，

∴OE＝ ·NM＝ (AN－AM)＝ ×(4－1.6)＝ 0.8．

∴點(diǎn)OE的長(zhǎng)度為0.8．

【解析】（1）由切線的定義，圓心到一直線上的距離等于半徑，則這條線是該圓的切線；所以此題可作OD⊥AB于D ， 求出OD的長(zhǎng)，即可證明；
（2）根據(jù)三角形的面積=底×高，可作作DH∥BC交AC于H ， 求出底邊AC上的高DH的長(zhǎng)，則由平行線分線段成比例可得 ， 代入相關(guān)數(shù)據(jù)，即可解出DH，從而求出S△ACD；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱-求最短路徑的原理，連接GO與⊙O相交于點(diǎn)G′ ， 由垂徑定理得OG＝OG′ ， 因?yàn)镋F在OC上，所以可過(guò)A作AN//OG相交于N ， 在AN上截取AM＝1.6， 在EC上截取EF＝1.6，此時(shí)，G′ ， E，M三點(diǎn)共線，則G′E+EM值最小，即GE+AF最小，由AG、EF的長(zhǎng)為定值，則此時(shí)四邊形AGEF的周長(zhǎng)最小；則可根據(jù)OE∥AN ， 得到Rt△OEG′∽R(shí)t△NM G′ ， 根據(jù)相似比解出OE即可.
【考點(diǎn)精析】掌握切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．