【題目】如圖所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以B為圓心,半徑為3的⊙O沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移,當(dāng)⊙O運(yùn)動(dòng)到與直線相交于點(diǎn)C時(shí)(點(diǎn)O在BC上),⊙O停止運(yùn)動(dòng).
(1) (2) (3)
(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí),試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在平移過(guò)程中,若⊙O與AB相切于點(diǎn)D,連接CD , 求△ACD的面積;
(3)在平移過(guò)程中,若⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)G時(shí), E、F為OC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF=1.6,當(dāng)四邊形AGEF的周長(zhǎng)最小時(shí),試求OE的長(zhǎng)度.
【答案】
(1)
答:直線AB與⊙O相切
證明:作OD⊥AB于D,
∵BC=8,OC=3,∴OB=5
∵AC=6,在Rt△ABC中,由勾股定理,
得AB= = =10
在△ABC和△OBD中,
∵∠ACB=∠ODB=90°,∠B=∠B,∴△ABC∽△OBD
∴ = ,∴OD= = =3
∴直線AB與⊙ O相切
(2)
解:過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于H
則,
∴DH== =
S△ACD=AC·DH=×6× =
(3)
連接GO與⊙O相交于點(diǎn)G′,則OG=OG′,過(guò)A作AN//OG相交于N,在AN上截取AM=1.6,連接MG′與BC交于點(diǎn)E,在EC上截取EF=1.6,
則四邊形EFAM為平行四邊形,得ME=AF,又AG、EF的長(zhǎng)為定值,
∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形AGEF的周長(zhǎng)最小
∵OE∥AN,∴Rt△OEG′∽R(shí)t△NM G′,∴ = ,
∴OE= ·NM= (AN-AM)= ×(4-1.6)= 0.8.
∴點(diǎn)OE的長(zhǎng)度為0.8.
【解析】(1)由切線的定義,圓心到一直線上的距離等于半徑,則這條線是該圓的切線;所以此題可作OD⊥AB于D , 求出OD的長(zhǎng),即可證明;
(2)根據(jù)三角形的面積=底×高,可作作DH∥BC交AC于H , 求出底邊AC上的高DH的長(zhǎng),則由平行線分線段成比例可得 , 代入相關(guān)數(shù)據(jù),即可解出DH,從而求出S△ACD;
(3)根據(jù)軸對(duì)稱-求最短路徑的原理,連接GO與⊙O相交于點(diǎn)G′ , 由垂徑定理得OG=OG′ , 因?yàn)镋F在OC上,所以可過(guò)A作AN//OG相交于N , 在AN上截取AM=1.6, 在EC上截取EF=1.6,此時(shí),G′ , E,M三點(diǎn)共線,則G′E+EM值最小,即GE+AF最小,由AG、EF的長(zhǎng)為定值,則此時(shí)四邊形AGEF的周長(zhǎng)最小;則可根據(jù)OE∥AN , 得到Rt△OEG′∽R(shí)t△NM G′ , 根據(jù)相似比解出OE即可.
【考點(diǎn)精析】掌握切線的判定定理是解答本題的根本,需要知道切線的判定方法:經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O,點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合,則∠CEO的度數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=AB=4,BC=7,點(diǎn)E在BC邊上,將△CDE沿DE折疊,點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)C'處.
(1)求∠C'DE的度數(shù);
(2)求△C'DE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】去年6月某日自治區(qū)部分市、縣的最高氣溫(℃)如下表:
區(qū)縣 | 吐魯番 | 塔城 | 和田 | 伊寧 | 庫(kù)爾勒 | 阿克蘇 | 昌吉 | 呼圖壁 | 鄯善 | 哈密 |
氣溫(℃) | 33 | 32 | 32 | 30 | 30 | 29 | 29 | 31 | 30 | 28 |
則這10個(gè)市、縣該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.32,32
B.32,30
C.30,30
D.30,32
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】紅嶺中學(xué)在“五四青年節(jié)”組織九年級(jí)全體學(xué)生320人進(jìn)行了一次“愛我中華”競(jìng)賽,賽后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制作如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息,解答下列問(wèn)題:
分?jǐn)?shù)段(x表示分?jǐn)?shù)) | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 4 | 0.1 |
60≤x<70 | 8 | b |
70≤x<80 | a | 0.3 |
80≤x<90 | 10 | 0.25 |
90≤x<100 | 6 | 0.15 |
(1)表中a= , b= , 并補(bǔ)全直方圖.
(2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖描述此成績(jī)分布情況,則分?jǐn)?shù)段60≤x<70對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是;
(3)請(qǐng)估計(jì)該年級(jí)分?jǐn)?shù)在80≤x<100的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn),E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn).
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別是線段AO、BO的中點(diǎn),若AC+BD=22cm,△OAB的周長(zhǎng)是16cm,則EF的長(zhǎng)為cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,∠PDQ的頂點(diǎn)D在BC邊上,DP交AB邊于點(diǎn)E,DQ交AB邊于點(diǎn)O且交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合),設(shè)∠PDQ=∠B,BD=3.
(1)求證:△BDE∽△CFD;
(2)設(shè)BE=x,OA=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)當(dāng)△AOF是等腰三角形時(shí),求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn),且各邊與x軸或y軸平行,從內(nèi)到外,它們的邊長(zhǎng)依次為2,4,6,8,…頂點(diǎn)依次用A1,A2,A3,A4表示,則頂點(diǎn)A2018的坐標(biāo)是( 。
A. (504,﹣504) B. (﹣504,504) C. (505,﹣505) D. (﹣505,505)
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