Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（l，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn) E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為直線 PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（0，-1），連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，則根據(jù)題意即可求得這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)M的坐標(biāo)為（a，0），求得BD與DM的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長(zhǎng)，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得DM²=BD•MN，則可得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）存在．
拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=1，
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，
∴y=-4+4+3=3，
∴點(diǎn)E（2，3），
∴設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b，
∴，
∴，
∴直線AE的解析式為：y=x+1，
∴點(diǎn)F（0，1），
∵D（0，3），
∴D與E關(guān)于x=1對(duì)稱，
作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（0，-1），
連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，
四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，
設(shè)直線EF′的解析式為：y=mx+n，
∴，
解得：，
∴直線EF′的解析式為：y=2x-1，
∴當(dāng)y=0時(shí)，2x-1=0，得x=，
即H（，0），
當(dāng)x=1時(shí)，y=1，
∴G（1，1）；
∴DF=2，F(xiàn)H=F′H==，DG==，
∴使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小值為：DF+FH+GH+DG=2+++=2+2；

（3）存在．
∵BD==3，
設(shè)M（c，0），
∵M(jìn)N∥BD，
∴，
即=，
∴MN=（1+c），DM=，
要使△DNM∽△BMD，
需，即DM²=BD•MN，
可得：9+c²=3×（1+c），
解得：c=或c=3（舍去）．
當(dāng)x=時(shí)，y=-（-1）²+4=．
∴存在，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周長(zhǎng)最短問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．