Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作交BC于點D，過點D作FE⊥AB于點E，交AC的延長線于點F.

(1)求證: EF與相切；

(2)若AE=6，，求EB的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】分析：（1）如圖，欲證明EF與⊙O相切，只需證得OD⊥EF．

（2）通過解直角△AEF可以求得AF=10．設⊙O的半徑為r，由平行線分線段成比例得到，即，則易求AB=AC=2r=，所以EB=AB﹣AE=﹣6=．

詳解：（1）證明：如圖，連接OD．

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．

∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∴∠ODF=∠AEF．

∵EF⊥AB，∴∠ODF=∠AEF=90°，∴OD⊥EF．

∵OD是⊙O的半徑，∴EF與⊙O相切；

（2）由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF．

在Rt△AEF中，sin∠CFD=，AE=6，則AF=10．

∵OD∥AB，∴．

設⊙O的半徑為r，∴，解得：r=，∴AB=AC=2r=，∴EB=AB﹣AE=﹣6=．