【題目】如圖,將正n邊形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點O,連接AO,我們稱AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點P,連接PO,我們稱∠OAB為“疊弦角”,△AOP為“疊弦三角形”.
【探究證明】
⑴請在圖1和圖2中選擇其中一個證明:“疊弦三角形”(△AOP)是等邊三角形;
⑵如圖2,求證:∠OAB=∠OAE′.
圖1(n=4) 圖2(n=5) 圖3(n=6) 圖n
【歸納猜想】
⑶圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為_____________,_________;
⑷圖n中,“疊弦三角形”_____________等邊三角形(填“是”或“不是”)
⑸圖n中,“疊弦角”的度數(shù)為______________________(用含n的式子表示)
【答案】 15°, 24° 是 .
【解析】(1)先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),再判斷出△APD≌△AOD/,最后用旋轉(zhuǎn)角計算即可;
(2)向判斷出Rt△AEM≌△Rt△ABN,在判斷出Rt△APM≌Rt△AON即可;
(3)先判斷出△AD/O≌△ABO,再利用正方形,正五邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),計算即可;
(4)先判斷出△APF≌△AE/F/,再用旋轉(zhuǎn)角60°,從而得出△PAO是等邊三角形;
(5)用(3)的方法求出正n邊形的“疊弦角”的度數(shù).
解:(1)如圖1,
∵四邊形ABCD是正方形, 由旋轉(zhuǎn)知:AD=AD',∠D=∠D'=90°,∠DAD'=∠OAP=60°,
∴∠DAP=∠D'AO,∴△APD≌△AOD'(ASA)∴AP=AO,
∵∠OAP=60°,∴△AOP是等邊三角形,
(2)如圖2,作AM⊥DE于M,作AN⊥CB于N.
∵五邊形ABCDE是正五邊形,
由旋轉(zhuǎn)知:AE=AE',∠E=∠E'=108°,∠EAE'=∠OAP=60°
∴∠EAP=∠E'AO ∴△APE≌△AOE'(ASA)
∴∠OAE'=∠PAE.
在Rt△AEM和Rt△ABN中,∠AEM=∠ABN=72°,AE=AB
∴Rt△AEM≌Rt△ABN (AAS), ∴∠EAM=∠BAN,AM=AN.
在Rt△APM和Rt△AON中,AP=AO,AM=AN
∴Rt△APM≌Rt△AON (HL).∴∠PAM=∠OAN,
∴∠PAE=∠OAB ∴∠OAE'=∠OAB (等量代換).
(3)由(1)有,△APD≌△AOD',
∴∠DAP=∠D′AO,
在△AD′O和△ABO中,
AD′=AB,AO=AO,
∴△AD′O≌△ABO,∴∠D′AO=∠BAO,
由旋轉(zhuǎn)得,∠DAD′=60°,∵∠DAB=90°,∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°,
∴∠D′AD=∠D′AB=15°,
同理可得,∠E′AO=24°,
故答案為:15°,24°.
(4)如圖3,
∵六邊形ABCDEF和六邊形A′B′C′E′F′是正六邊形,∴∠F=F′=120°,由旋轉(zhuǎn)得,AF=AF′,EF=E′F′,∴△APF≌△AE′F′,∴∠PAF=∠E′AF′,
由旋轉(zhuǎn)得,∠FAF′=60°,AP=AO ∴∠PAO=∠FAO=60°,
∴△PAO是等邊三角形.故答案為:是
(5)圖n中的多邊形是正(n+3)邊形,
同(3)的方法得,
故答案: .
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c是△ABC的三邊,且滿足關(guān)系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,則△ABC是_____三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,△ABC平移到△DEF的位置.
(1)指出平移的方向和平移的距離;
(2)求證:AD+BC=BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小紅家最近新蓋了房子,室內(nèi)裝修時,木工師傅讓小紅爸爸去建材市場買一塊長3m,寬2.2m的薄木板用來做家居面,到了市場爸爸看到滿足這個尺寸的木板有點大,買還是不買爸爸猶豫了,因為他知道他家門框高只有2m,寬只有1m,他不知道這塊木板買回家后能不能完整的通過自家門框.請你替小紅爸爸解決一下難題,幫他算一算要買的木板能否通過自家門框進入室內(nèi).(備用圖可供做題參考,薄木板厚度可以忽略不計)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中, , , 三邊的長分別為, , ,求這個三角形的面積.
小明同學(xué)在解答這道題時,先建立了一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中
畫出格點△ABC中,(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處),如圖1所示,這樣不需要△ABC高,借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.
(1)△ABC的面積為 ;
(2)如果△MNP三邊的長分別為, , ,請利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)畫出相應(yīng)的格點△MNP,并直接寫出△MNP的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象經(jīng)過點(3,0).
(1)求b的值;
(2)求出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸;
(3)在所給坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象.
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