Question

【題目】已知：如圖，一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，m）（m＞0），與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C在線段AB上，且BC=2AC，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D．若AC=CD．

（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知一開口向下、以直線CD為對稱軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P，若過點(diǎn)P且垂直于AP的直線與x軸的交點(diǎn)為Q（﹣，0），求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣1；（2）拋物線解析式為：y=

【解析】（1）利用三角形相似和勾股定理構(gòu)造方程，求AC和m

（2）由∠APQ=90°，構(gòu)造△PQD∽△APE構(gòu)造方程求點(diǎn)P坐標(biāo)可求二次函數(shù)解析式．

（1）過點(diǎn)A作AF⊥x軸，過點(diǎn)B作BF⊥CD于H，交AF于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥AF于點(diǎn)E.

設(shè)AC=n，則CD=n

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，-1）

∴CH=n+1，AF=m+1

∵CH∥AF，BC=2AC

∴，即：

整理得：

n=

Rt△AEC中，

CE2+AE2=AC2

∴5+（m-n）2=n2

把n=代入，得：

解得m1=5，m2=-3（舍去）

∴n=3

∴把A（3，5）代入y=kx-1得

k=

∴y=x-1

（2）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，n），由已知n＞0

由已知，PD⊥x軸，易證△PQD∽△APE，

∴，

∴，

解得n1=7，n2=-2（舍去）.

設(shè)拋物線解析式為y=a（x-h）2+k

∴y=a（x-2）2+5

把A（3，5）代入y=a（x-2）2+7

解得a=-

∴拋物線解析式為：y=-x2+x1