Question

【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°，AB=8，CB=6，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=2秒時(shí),求PQ的長;

(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí),△PQB是等腰三角形?

(3)若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng),則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1）；
（2）秒；
（3）t為5.5秒或6秒或6.6秒．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：
①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當(dāng)CQ=BC時(shí)（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當(dāng)BC=BQ時(shí)（圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，

；
（2）解：根據(jù)題意得：BQ=BP，
即 ，
解得：；
即出發(fā)時(shí)間為秒時(shí)，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：
則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：
則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示：
過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，
則 （cm）
∴cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，
△BCQ為等腰三角形．