Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC， 點M在△ABC內，點P在線段MC上，∠ABP＝2∠ACM.

(1)若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值

(2)若點M在底邊BC的中線上，且BP＝AC，試探究∠A與∠ABP之間的數(shù)量關系，并證明.

Answer 1

【答案】(1) ∠MPB＝40°;(2) ∠BAC＋∠ABP＝120°．證明見解析

【解析】試題分析：（1）由AB=AC，∠BAC=80°，可求∠ABC=∠ACB=50°,又∠PBC=10°，∠ABP=2∠ACM，可求∠BCM=30°，由三角形外角的性質可求出結果；

（2）過點A作底邊BC的中線AD，連接BM，由等腰三角形三線合一的性質可得∠CAM=∠BAM，從而可證△ABM≌△ACM．進而證明△ABM≌△PBM．可證出∠AMB=120°，進而得出結論.

試題解析：（1）∵ AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∵∠BAC=80°，

∴∠ABC=∠ACB=50°．

∵∠PBC=10°，

∴∠ABP=40°．

∵∠ABP=2∠ACM，

∴∠ACM=20°．

∴∠BCM=30°．

∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；

（2）∠BAC＋∠ABP=120°．

證明：過點A作底邊BC的中線AD，

∵AB=AC，

∴AD是∠BAC的平分線．

∵點M在底邊BC的中線上，

∴點M在∠BAC的平分線AD上．

即AM平分∠BAC．

∴∠CAM=∠BAM．

∴連接BM，又AM是公共邊

△ABM≌△ACM．

∴∠ACM=∠ABM．

∠ABP=2∠ACM，

∴∠ABP=2∠ABM．

∴∠ABM=∠PBM．

∵BP=AC，

∴BP=AB．

∴△ABM≌△PBM．

∴∠AMB=∠PMB．

又∵△ABM≌△ACM，

∴∠AMB=∠AMC．

∴∠AMB=∠AMC=∠PMB．

∴∠AMB=120°．

∴∠BAM＋∠ABM=60°．

∵∠BAC=2∠BAM，

∠ABP=2∠ABM，

∴∠BAC＋∠ABP=120°．