Question

【題目】M為雙曲線y= 上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線，分別交直線y=﹣x+m于點(diǎn)D，C兩點(diǎn)，若直線y=﹣x+m與y軸交于點(diǎn)A，與x軸相交于點(diǎn)B．

（1）求ADBC的值．
（2）若直線y=﹣x+m平移后與雙曲線y= 交于P、Q兩點(diǎn)，且PQ=3 ，求平移后m的值．
（3）若點(diǎn)M在第一象限的雙曲線上運(yùn)動，試說明△MPQ的面積是否存在最大值？如果存在，求出最大面積和M的坐標(biāo)；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

過C作CE⊥x軸于E，過D作DF⊥y軸于F，如圖1，

當(dāng)x=0時，y=m，

∴A（0，m）；

當(dāng)y=0時，x=m，

∴B（m，0）．

∴△ABO為等腰直角三角形

∴∠OAB=∠OBA=45°

∴△ADF和△BCE也是等腰直角三角形

設(shè)M（a，b），則ab= ，CE=b，DF=a

∴AD= DF= a，BC= CE= b

∴ADBC= a b=2ab=2

（2）

解：將y=﹣x+m代入雙曲線y= 中，整理得：x2﹣mx+ =0，

設(shè)x1、x2是方程x2﹣mx+ =0的兩個根（x1＜x2），

∴x1+x2=m，x1x2= ．

∵PQ=3 ，直線的解析式為y=﹣x+m，

∴x2﹣x1=3= = ，

解得：m=±

（3）

解：由上述結(jié)論知x1=y2，x2=y1，且AO=BO=y1+y2=x1+x2=m ①，

∵x1x2= ②，

∴P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為P（x1，x2），Q（x2，x1），

∴PQ= （x2﹣x1），

∵（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=m2﹣4 ，

∴PQ= ，

∵S△MPQ= PQh，∵PQ為定值，

∴PQ邊上的高有最大值時，即存在面積的最大值，

當(dāng)m無限向x軸右側(cè)運(yùn)動時，（或向y軸的上方運(yùn)動時）h的值無限增大，

∴不存在最大的h，即△MPQ的面積不存在最大值．

【解析】（1）過C作CE⊥x軸于E，過D作DF⊥y軸于F，如圖1，求得A（0，m）；B（m，0）．求得△ABO為等腰直角三角形推出△ADF和△BCE也是等腰直角三角形設(shè)M（a，b），則ab= ，CE=b，DF=a解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得 ，整理得：x2﹣mx+ =0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：m2﹣4 =9，解得：m=± ；（3）由上述結(jié)論知x1=y2 ， x2=y1 ， 且AO=BO=y1+y2=x1+x2=m ①，
由于x1x2= ②，得到P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到PQ= ，根據(jù)S△MPQ= PQh，得到PQ為定值，于是得到PQ邊上的高有最大值時，即存在面積的最大值，當(dāng)m無限向x軸右側(cè)運(yùn)動時，（或向y軸的上方運(yùn)動時）h的值無限增大，于是得到不存在最大的h，即△MPQ的面積不存在最大值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)，需要了解反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能得出正確答案．