【題目】已知:如圖所示,在平面直角坐標系xoy中,四邊形OABC是矩形,OA=4,OC=3,動點P從點C出發(fā),沿射線CB方向以每秒2個單位長度的速度運動;同時,動點Q從點O出發(fā),沿x軸正半軸方向以每秒1個單位長度的速度運動.設(shè)點P、點Q的運動時間為t(s).
(1)當t=1s時,求經(jīng)過點O,P,A三點的拋物線的解析式;
(2)當t=2s時,求tan∠QPA的值;
(3)當線段PQ與線段AB相交于點M,且BM=2AM時,求t(s)的值;
(4)連接CQ,當點P,Q在運動過程中,記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1);(2);(3)t=3s;(4).
【解析】
(1)可求得P點坐標,由O、P、A的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)當t=2s時,可知P與點B重合,在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值;
(3)用t可表示出BP和AQ的長,由△PBM∽△QAM可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值;
(4)當點Q在線段OA上時,S=S△CPQ;當點Q在線段OA上,且點P在線段CB的延長線上時,由相似三角形的性質(zhì)可用t表示出AM的長,由S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ,可求得S與t的關(guān)系式;當點Q在OA的延長線上時,設(shè)CQ交AB于點M,利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM,從而可表示出BM,S=S△CBM,可求得答案.
(1)當t=1s時,則CP=2,∵OC=3,四邊形OABC是矩形,∴P(2,3),且A(4,0),
∵拋物線過原點O,∴可設(shè)拋物線解析式為,
∴,解得:,
∴過O、P、A三點的拋物線的解析式為;
(2)當t=2s時,則CP=2×2=4=BC,即點P與點B重合,OQ=2,如圖1,
∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2,且AP=OC=3,
∴tan∠QPA==;
(3)當線段PQ與線段AB相交于點M,則可知點Q在線段OA上,點P在線段CB的延長線上,如圖2,
則CP=2t,OQ=t,∴BP=PC﹣CB=2t﹣4,AQ=OA﹣OQ=4﹣t,
∵PC∥OA,∴△PBM∽△QAM,
∴,且BM=2AM,
∴ =2,解得t=3,
∴當線段PQ與線段AB相交于點M,且BM=2AM時,t為3s;
(4)當0≤t≤2時,如圖3,由題意可知CP=2t,∴S=S△PCQ=×2t×3=3t;
當2<t≤4時,設(shè)PQ交AB于點M,
如圖4,由題意可知PC=2t,OQ=t,則BP=2t﹣4,AQ=4﹣t,
同(3)可得=,
∴BM=AM,∴3﹣AM=AM,解得AM=,
∴S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×(4﹣t)×=24﹣﹣3t;
當t>4時,設(shè)CQ與AB交于點M,如圖5,由題意可知OQ=t,AQ=t﹣4,
∵AB∥OC,∴,即,解得AM=,
∴BM=3﹣=,∴S=S△BCM=×4×=;
綜上可知:.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點O,AC平分∠BAD,過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若AB=,BD=2,求OE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A,B分別在x軸和y軸上,且,點C的坐標是,AB與OC相交于點G.點P從O出發(fā)以每秒1個單位的速度從O運動到C,過P作直線分別交OA,OB或AC,BC于E,F.解答下列問題:
(1)直接寫出點G的坐標;
(2)若點P運動的時間為t,直線EF在四邊形OACB內(nèi)掃過的面積為s,請求出s與t的函數(shù)關(guān)系式;并求出當t為何值時,直線EF平分四邊形OACB的面積;
(3)設(shè)線段OC的中點為Q,P運動的時間為t,求當t為何值時,為直角三角形.
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【題目】八(2)班組織了一次經(jīng)典誦讀比賽,甲、乙兩隊各10人的比賽成績?nèi)缦卤恚?/span>10分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲隊成績的中位數(shù)是 分,乙隊成績的眾數(shù)是 分;
(2)計算乙隊的平均成績和方差;
(3)已知甲隊成績的方差是1.4,則成績較為整齊的是 隊.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,過點D作DE⊥AB于點E,作DE⊥BC于點F,連接EF,求證:
(1)△ADE≌△CDF;
(2)若∠A=60°,AD=4,求△EDF的周長.
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【題目】一個不透明的袋中裝有黃球、黑球和紅球共40個,它們除顏色外都相同,其中紅球有22個,且經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)摸出一個球為黃球的頻率接近0.125 。
⑴求袋中有多少個黑球;
⑵現(xiàn)從袋中取出若干個黑球,并放入相同數(shù)量的黃球,攪拌均勻后使從袋中摸出一個球是黃球的概率達到,問至少取出了多少個黑球?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標系中,矩形OABC的頂點O與坐標原點重合,A、C分別在坐標軸上,點B的坐標為(4,2),直線交AB,BC分別于點M,N,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M,N.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點P在y軸上,且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△OAB中,O為坐標原點,橫、縱軸的單位長度相同,A、B的坐標分別為(8,6),(16,0),點P沿OA邊從點O開始向終點A運動,速度每秒1個單位,點Q沿BO邊從B點開始向終點O運動,速度每秒2個單位,如果P、Q同時出發(fā),用t(秒)表示移動時間,當這兩點中有一點到達自己的終點時,另一點也停止運動。求:
(1)幾秒時PQ∥AB.
(2)設(shè)△OPQ的面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)△OPQ與△OAB能否相似?若能,求出點P的坐標,若不能,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在同一直線道路上同起點、同方向、同時出發(fā),分別以不同的速度勻速跑步1000米,甲超出乙150米時,甲停下來等候乙,甲、乙會合后,兩人分別以原來的速度繼續(xù)跑向終點,先到終點的人在終點休息,在跑步的整個過程中,甲、乙兩人的距離y(米)與乙出發(fā)的時間x(秒)之間的關(guān)系如圖所示,則甲到終點時,乙距離終點還有_____米.
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