Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，動點P從點C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個單位長度的速度運動；同時，動點Q從點O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以每秒1個單位長度的速度運動．設(shè)點P、點Q的運動時間為t（s）．

（1）當t=1s時，求經(jīng)過點O，P，A三點的拋物線的解析式；

（2）當t=2s時，求tan∠QPA的值；

（3）當線段PQ與線段AB相交于點M，且BM=2AM時，求t（s）的值；

（4）連接CQ，當點P，Q在運動過程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）t=3s；（4）．

【解析】

（1）可求得P點坐標，由O、P、A的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）當t=2s時，可知P與點B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；

（3）用t可表示出BP和AQ的長，由△PBM∽△QAM可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；

（4）當點Q在線段OA上時，S=S△CPQ；當點Q在線段OA上，且點P在線段CB的延長線上時，由相似三角形的性質(zhì)可用t表示出AM的長，由S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S與t的關(guān)系式；當點Q在OA的延長線上時，設(shè)CQ交AB于點M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，從而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．

（1）當t=1s時，則CP=2，∵OC=3，四邊形OABC是矩形，∴P（2，3），且A（4，0），

∵拋物線過原點O，∴可設(shè)拋物線解析式為，

∴，解得：，

∴過O、P、A三點的拋物線的解析式為；

（2）當t=2s時，則CP=2×2=4=BC，即點P與點B重合，OQ=2，如圖1，

∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，

∴tan∠QPA==；

（3）當線段PQ與線段AB相交于點M，則可知點Q在線段OA上，點P在線段CB的延長線上，如圖2，

則CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，

∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，

∴，且BM=2AM，

∴ =2，解得t=3，

∴當線段PQ與線段AB相交于點M，且BM=2AM時，t為3s；

（4）當0≤t≤2時，如圖3，由題意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

當2＜t≤4時，設(shè)PQ交AB于點M，

如圖4，由題意可知PC=2t，OQ=t，則BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，

同（3）可得=，

∴BM=AM，∴3﹣AM=AM，解得AM=，

∴S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；

當t＞4時，設(shè)CQ與AB交于點M，如圖5，由題意可知OQ=t，AQ=t﹣4，

∵AB∥OC，∴，即，解得AM=，

∴BM=3﹣=，∴S=S△BCM=×4×=；

綜上可知：．