Question

如圖，AB是⊙O的弦，D是半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于F，且CE=CB.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑.

Answer 1

解：（1）證明：連接OB.∵OA=OB，∴∠A=∠OBE.

∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，

∵∠AED =∠EBC，∴∠AED = ∠EBC，

又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，

∴BC是⊙O的切線；

（2）∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，

又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；

（3）作CG⊥BE于G，則∠A=∠ECG.

∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，

∵sin∠ECG=sinA=，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2.

∵△ADE∽△CGE，∴，即，

∴AD=，∴OA=，即⊙O的半徑是.