Question

3．探究函數(shù)y=x+$\frac{4}{x}$的圖象與性質(zhì)
（1）函數(shù)y=x+$\frac{4}{x}$的自變量x的取值范圍是x≠0；
（2）下列四個函數(shù)圖象中，函數(shù)y=x+$\frac{4}{x}$的圖象大致是C；

（3）對于函數(shù)y=x+$\frac{4}{x}$，求當x＞0時，y的取值范圍．
請將下面求解此問題的過程補充完整：
解：∵x＞0
∴y=x+$\frac{4}{x}$
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²
=（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²+2．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥2．
【拓展應(yīng)用】
（4）若函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+5x+4}{x}$，則y的取值范圍是y≥7．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分母不能等于零，可以解答本題；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式可以判斷函數(shù)圖象所在的位置，本題得以解決；
（3）根據(jù)題目中的解答過程可以將沒寫的補充完整；
（4）根據(jù)（3）的特點可以解答本題．

解答 解：（1）∵y=x+$\frac{4}{x}$，
∴x≠0，
故答案為：x≠0；
（2）∵y=x+$\frac{4}{x}$，
∴x＞0時，y＞0，
當x＜0時，y＜0，故選項B、D錯誤，
∵x≠0，∴選項A錯誤，
故選C；
（3）解：∵x＞0
∴y=x+$\frac{4}{x}$
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²
=（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²+2
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥2，
故答案為：2，2；
（4）y=$\frac{{x}^{2}+5x+4}{x}$=x+5+$\frac{4}{x}$=（x+$\frac{4}{x}$）+5≥7，
故答案為：y≥7．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的特征、二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．