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14.在△ABC中,∠ACB=90°,O為邊AB上的一點(diǎn),以O(shè)為圓心,以O(shè)A為半徑,作⊙O,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,且點(diǎn)F恰好是ED的中點(diǎn),連接DF.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的直徑為10,AE=6,求圖中陰影部分的面積.

分析 (1)連接OF,AF,由題意得出^EF=^FD,由圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)得出∠1=∠3,證出AC∥OF,得出∴∠BFO=∠ACB=90°,即可得出結(jié)論;
(2)連接ED,交OF于H,由圓周角定理得出∠AED=90°,由勾股定理求出ED=8,證明四邊形ECFH為矩形,得出∠EHO=90°,OF⊥ED,由三角形中位線定理得出OH=12AE=3,求出HF=5-3=2,得出SECF=2×42=4,證出陰影部分的面積與△CEF的面積相等,即可得出答案.

解答 (1)證明:連接OF,AF如圖,
∵F為^ED的中點(diǎn),
^EF=^FD,
∴∠1=∠2,∵AO=FO,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AC∥OF∴∠BFO=∠ACB=90°,
∵F為⊙O上一點(diǎn),
∴BC為⊙O的切線;
(2)連接ED,交OF于H,如圖,
∵AD為⊙O的直徑,
∴∠AED=90°,
在Rt△ADE中,ED=AD2AE2=8,
∵∠AED=90°=∠ACF=∠BFO,
∴四邊形ECFH為矩形,
∴∠EHO=90°,OF⊥ED,
∴H為ED的中點(diǎn),
∴EH=4,
∵O為AD的中點(diǎn),
OH=12AE=3
∴HF=5-3=2,
SECF=2×42=4
^EF=^FD,
∴弓形FD與弓形EF全等∴陰影部分的面積與△CEF的面積相等,
故圖中陰影部分的面積為4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度.

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請(qǐng)將下面求解此問(wèn)題的過(guò)程補(bǔ)充完整:
解:∵x>0
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=(x-2x2+2.
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